Канонично уравнение на линията

(уравнение на права линия от две дадени точки).

Нека са известни две различни точки M0 (x0, y0) и M1 (x1, y1), лежащи на линията l.

За всяка точка M (x, y) на права линия l, насочените сегменти и са колинеарни, т.е. техните координати са пропорционални: = (***)

Сега вземаме точката N (x, y), чиито координати удовлетворяват равенство (***), тогава насочените отсечки ще бъдат колинеарни (тъй като техните координати са пропорционални), което означава, че точка N лежи на права линия (тъй като единствената права линия минава през тази точка, перпендикулярна на тази линия).

Обърнете внимание, че насоченият сегмент е представител на насочващия вектор на правата линия, т.е. координатите на насочения сегмент = (x1-x0, y1 -y0) са координатите на насочващия вектор на правия.

И така, ние доказахме следната теорема:

Теорема. Всяка права линия на равнина в декартова координатна система може да бъде определена чрез уравнение на формата (m 2 + n 2 ≠ 0) (****), където (m, n) са координатите на направляващия вектор на правата линия, (x0, y0) са координатите на точка, принадлежаща на тази права.

Нека сега докажем обратното.

Теорема. Всяко уравнение на формата (m 2 + n 2 ≠ 0) на равнина в декартова координатна система дефинира определена права линия, докато (m, n) са координатите на направляващия вектор на правата линия, (x0, y0 ) са координатите на точка, принадлежаща на тази права линия.

Доказателства.

Имайте предвид, че (x0, y0) е решение на уравнение (****).

Съществува линия с вектор на посока = (m, n), минаваща през точката M0 (x0, y0). По предходната теорема такава линия се дава от системата (****).

Определение. Уравнение на формата (m 2 + n 2 ≠ 0) ще се нарече канонично уравнение на линията.

Забележка (За видовете уравнения на права линия на равнина).

Има много други видове уравнения и методи за аналитично определяне на права линия на равнина: уравнение с наклон, уравнение в сегменти, нормално уравнение и т.н. По правило тези уравнения са частен случай на горните три уравнения или се свеждат до тях.

Упражнения.

един) Коя от точките A (0, -3), B (2,1), C (5.4), D (1,1), O (0,0) лежи на права линия, дадена от уравнението: (1) 2x + 5y -9 = 0; (2); (3); (4) 4x - 5y = 0?

2) Напишете и трите вида уравнение на линията l, ако е известно, че:

1) Правата l преминава през точката M (-1, 3) перпендикулярно на вектора = (2,5);

2) Правата l преминава през точката M (2,2), успоредна на вектора = (-1,5);

3) Правата l минава през точка М (2,2) и точка N (-4,5);

4) Правата l преминава през точка M (2, -1) успоредно на права m, която се дава от уравнението x + 4y - 5 = 0;

5) Правата l преминава през точка М (0,0) перпендикулярно на права m, която се дава от уравнението x + 4y - 5 = 0;

6) Правата l преминава през точка M (2, -1), успоредна на права m, която се дава от уравнението;

7) Правата l съдържа средните точки на страните AB и AC на триъгълник ABC, където A (1,1), B (2, 3),

8) Правата l минава през височината AH на триъгълник ABC, където A (1,1), B (2, 3), C (5,0);

9) Правата l преминава през бисектрисата CK на триъгълник ABC, където A (1,1), B (2, 3),

10) Правата l преминава през точка M (2, -1) под ъгъл спрямо положителната посока на оста (Ox).

§ 24. Аналитична спецификация на полуплоскостта * (на равнината)

Коментар *. Нека да бъде фиксирана някаква права линия. Под полу равнина ще разберем множеството точки, лежащи от едната страна на дадена права линия, тоест две точки лежат в една полуплоскост, ако отсечката, която ги свързва, не пресича тази права линия. Тази линия се нарича границата на тази полу-равнина. Ще се извика обединението на тази права и полу-равнина затворена полу равнина.

Нека декартовата координатна система е фиксирана върху равнината.

Теорема. Нека линията l е дадена от общото уравнение Ax + By + C = 0. Тогава една от двете полуплоскости, на които линията l разделя равнината, се дава от неравенството Ax + By + C> 0, а втората полуплоскостта се дава от неравенството Ax + By + C 0.

1) Вземете точка K (x, y) в полуплоскостта a. Ъгълът L NMK е ъгълът между векторите и е остър, следователно скаларното произведение на тези вектори е положително:> 0.

Записваме това неравенство в координати: A (x - x0) + B (y - y0)> 0, тоест Ax + By - Ax0 - By0> 0.

Тъй като M Î l, тогава Ax0 + By0 + C = 0, следователно -Ax0 - By0 = C. Следователно последното неравенство може да бъде записано като: Ax + By + C> 0.

2) Вземете точка L (x, y) такава, че Ax + By + C> 0.

Пренаписваме неравенството, замествайки С с (-Ax0 - By0) (тъй като M Î l, тогава Ax0 + By0 + C = 0):

Вектор с координати (x - x0, y - y0) е вектор, така че изразът A (x - x0) + B (y - y0) може да се разбира като скаларно произведение на вектори и. Тъй като скаларното произведение на вектори и е положително, ъгълът между тях е остър и точката L Î a.

По същия начин може да се докаже, че полуплоскостта b е дадена от неравенството Ax + By + C 0, - x 0 дефинират същата полу равнина.

И обратното също е вярно.

Теорема. Всяко линейно неравенство на формата Ax + By + C> 0 (или Ax + By + C 2 + B 2 ≠ 0) дефинира полуплоскост на равнината в декартовата координатна система с границата Ax + By + C = 0.

Доказателства.

Уравнението Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 ≠ 0) на равнината определя някаква права l (виж §…). Както беше доказано в предишната теорема, една от двете полуплоскости, на които линията l разделя равнината, се дава от неравенството Ax + By + C> 0.

Забележки.

един) Ясно е, че затворена полуплоскост може да бъде зададена чрез нестрого линейно неравенство и всяко нестрого линейно неравенство в декартова координатна система определя затворена полуплоскост.

2) Всеки изпъкнал многоъгълник може да бъде дефиниран като пресичане на затворени полуплоскости (границите на които са прави линии, съдържащи страните на многоъгълника), т.е. аналитично - чрез система от линейни нестриктни неравенства.

Упражнения.

един) Докажете двете представени теореми за произволна афинна координатна система.

2) Вярно ли е обратното, че всяка система от нестриктни линейни неравенства определя изпъкнал многоъгълник?

3) Определете триъгълник ABC чрез система от линейни неравенства, ако A (2, -3), B (0,1), C (-3, -2).