Как да решим 3D уравненията на Навие Стокс Текстът на научната статия по специалността "Математика"

Авторът предлага метод за конструиране на решения на 3D уравненията на Навие Стокс за случай на нестабилно движение на вискозна несвиваема течност. Благодарение на прилагането на метода, проблемът за конструиране на решения на 3D уравненията на Навие Стокс се свежда до решаване на набор от по-прости задачи.

Как да решим 3d уравнения на Navier Stokes

Предложен е метод за конструиране на решение на уравненията на Навие Стокс за 3D нестабилен вискозен несвиваем флуиден поток. Благодарение на прилагането на предложения метод, решенията на 3D уравненията на Навие Стокс са сведени до решаването на набор от по-прости задачи.

Как да решим 3D уравненията на Навие Стокс

УДК 532.516: 517.958 А. В. Коптев

КАК ДА РАЗРЕШИМ УРАВНЕНИЯТА НА 3D НАВИЕР - ЗАБЕЛЕЖКИ

Авторът предлага метод за конструиране на решения на 3D уравненията на Навие - Стокс за случай на нестабилно движение на вискозна несвиваема течност. Благодарение на прилагането на метода, проблемът за конструиране на решения за 3D уравненията на Навие - Стокс се свежда до решаване на набор от по-прости задачи.

Ключови думи: движение, вискозна течност, диференциално уравнение, частична производна, нелинейност, интеграл, консистенция.

КАК ДА РЕШИМ 3D НАВИЕР - УПРАВЛЕНИЯ НА ЗАБОРИ

Предложен е метод за конструиране на решение на уравнения на Навие - Стокс за 3D нестабилна вискозна несвиваема течност. Благодарение на прилагането на предложения метод, решенията на уравненията 3D Navie - Stokes са сведени до решаването на набор от по-прости задачи.

Ключови думи: движение, вискозна течност, диференциално уравнение, частична производна, нелинейност, интеграл, съвместимост.

1. Уравнения на Навие - Стокс. Уравненията под това име са система от нелинейни диференциални уравнения с частични разлики, които описват движението на течна и газообразна среда при наличие на вискозитет.

За случая на движение на вискозна несвиваема течност, при условие че външните сили имат потенциал, безразмерната версия на 3D уравненията на Навие - Стокс може да бъде представена във формата

du du du du -г— + u ^ - + v ^ - + w-T—: dt dx dy dz

C g ^ и g ^ и Pu> dx2 + E/+ dz2

dv dv dv dv d (p + F) 1

dt dx dy dz dy Re

dw dw dw dw d (p + Ф) 1 f d2w d2w d

dt dx dy dz dz Re ^ dx2 dy2 dz2 y

Основните неизвестни в уравнения (1) - (4) са скоростите u, v, w и налягането p. Всяка от тези величини е функция на четири независими променливи - координати x, y, z и време t.

Ф обозначава дадена функция от потенциала на външните сили. Re е числото на Рейнолдс, представляващо положителен параметър.

Отличителна черта на разглежданите уравнения е наличието на нелинейни членове. Те присъстват в лявата част на уравненията (1) - (3). Това обстоятелство значително усложнява както изследването, така и решението, тъй като разработените методи за линейни уравнения не са приложими в този случай.

Към днешна дата има цял списък с въпроси, свързани с уравнения (1) - (4), които не са достатъчно проучени и изискват допълнителни изследвания. Няма окончателно решение на проблема за съществуването на гладко решение на 3D уравнения [4-5]. Структурата на решенията не е ясна и няма общи подходи за изграждане на решения. Последното се отнася както за конструиране на конкретни решения, така и за конструиране на решения на първоначални и гранични проблеми. Сред проблемите, които не са напълно проучени, е ламинарно-турбулентният преход, който би трябвало да се появи при големи стойности на числото Re.

Справедливо е да се каже, че днес теоретичното изследване на уравненията на Навие - Стокс изостава значително от нуждите на практиката.

Следният факт може да бъде цитиран като потвърждение на значимостта на теоретичното изследване на разглежданите уравнения. Известният център за изучаване на математика - Клей Математически институт, САЩ (Clay Mathematical Institute, USA) през 2000 г. определи проблема за съществуването на гладко решение на уравненията на Навие-Стокс като един от седемте основни математически проблема на трето хилядолетие [6].

Всички изброени проблеми, свързани с уравненията на Навие - Стокс, със сигурност ще получат допълнителен тласък в изследването, ако се разработи метод за конструктивно решение. Това ще позволи изграждането на специфични решения, изучаването на техните свойства и преминаването към обобщения. Разработването на такъв метод, приложим при общи предположения, е сложна и интересна задача. Тази работа представлява стъпка по този път.

2. Първи интеграл и структура на решенията. При конструирането на решение ще изхождаме не от уравнения (1) - (4) директно, а от първия интеграл на тези уравнения.

Първият интеграл от уравненията на Навие - Стокс за случая на 3D нестабилно движение на вискозна несвиваема течност се свежда до следните девет съотношения [1-2]: