сложен тероризъм/tfkp steklovka/ser2

| е (а) | | ϕ 0 (а) | > 0,

откъдето f 0 ≡ const и, следователно, от следствието от теоремата на Хурвиц (раздел 14.3), функцията f 0 е едновалентна по D и следователно f 0 F a .

Помислете за функционала J: F a → C, даден от формулата

Съгласно раздел 16.3, той е непрекъснат на F a и (от лемата в раздел 16.3) достига горната си граница на F a, т.е. има функция f 0 F a такава, че

| е (а) | | f 0 (a) | за всички f F a .

Стъпка 3. Чрез дефиницията на семейство F a, функцията f 0 съответства съответно на домейна D в единичния диск U. За завършване на доказателството остава да се установи, че образът на D при това картографиране съвпада с целия диск U .

Лекция 17. Теорема на Риман

Ще използваме следния лесно проверяем имот

Нека първо покажем, че f 0 (a) = 0. Всъщност, да предположим,

напротив, че f 0 (a) =: c е ненулево. След това функцията

принадлежи на F a, но от формула (17.1) следва, че

строго по-голяма от | f 0 (a) |, противно на определението f 0 .

Нека сега покажем, че f 0 картографира домейна D върху единичния диск U, т.е. всички стойности b U \ < 0 >принадлежат към f 0 (D).

Всъщност, да предположим, напротив, че стойността b U \

не се приема f 0. След това помислете за функцията

дефиниран от еднозначен холоморфен клон на посочения корен в D (който може да бъде разграничен от теоремата за монодромията в раздел 10.6). Както в стъпка 1, се проверява дали функцията h е едновалентна в D, т.е. ч. F. По силата на формула (17.1) производната на функцията h (z) 2 в точката a е равна на f 0 (a) (1 - | b | 2). Следователно

| f 0 (a) | (1 - | b | 2)

Както видяхме по-горе, тази стойност може да се увеличи, като се разгледа вместо h функцията

h 0: = ψ c ◦ h, където

17.2. Теорема на Риман

тъй като | b | 0> и дадената функция f (z) = z 3. Тогава f е холоморфно в D 1 и непрекъснато (дори холоморфно) в D 1 (разбиране на приемственост и холоморфизъм при ∞ в смисъла, посочен в лекция 2). Освен това f картира R = ∂D1 хомеоморфно върху R. Въпреки това образът на f (D1) в този случай не е област с граница R; напротив, f (D1) = C \ < 0 >.

Независимо от това, принципът на съответствие на границите за отображенията f: D 1 → D 2 на неограничени домейни D 1 може да бъде запазен, ако допълнително изискваме домейнът D 2 C да има проста граница и домейнът D 1 C да бъде ограничен от краен брой несвързани затворени Йордански на части гладки криви в удължената равнина С.

Нека докажем специален случай на това твърдение, който ще ни е необходим в следващата лекция. (Прилагането на същата техника позволява да се докаже принципът на съответствие в посочения общ случай.)

Изречение. Нека D 1 = 0> е горната полу равнина, а D 2 C - област с проста граница. Да предположим, че функцията f е холоморфна в областта D1 и непрекъсната в затварянето си D1 на разширената комплексна равнина C. Ако f преобразува ∂D 1 C хомеоморфно в ∂D 2, тогава f е бихоломорфизъм от D 1 в D 2 .

Доказателства. Обърнете внимание, че D 1 = < Im z >0> е бихоломорфно изображение на единичния диск U =, като се прилага обичайният принцип на гранично съответствие към картографирането g = ϕ - 1 ◦ f ◦ ϕ ?

18.2. Принцип на симетрия. Преди да пристъпим към формулирането на принципа на симетрията, представяме лема за холоморфното продължение на функциите през интервал, който е частен случай на една от теоремите на Привалов и ще бъде използван от нас при доказването на принципа на симетрия.

Лема за холоморфното продължение. Да предположим,

че линията l пресича областта D C, а функцията f: D → C е холоморфна в D \ l и непрекъсната в D. Тогава f е холоморфна в цялата област D.

Доказателства. За да се докаже, че f е холоморфна в областта D, е достатъчно, според теоремата на Морер, да се покаже, че

за всеки триъгълник ∆ D. Пресечната точка на затворения триъгълник ∆ с линията l може да бъде:

(а) празен набор,

(б) връх на триъгълник,

в) страната на триъгълник, или

(г) отсечка от права, свързваща вътрешните точки на двете страни на триъгълника или един от неговите върхове с вътрешната точка на противоположната страна.