Лекция 6. Метод на Д’Аламбер

В тази лекция решението на задачата на Коши за вълновото уравнение

Етап 1. Заменете променливите (x, t) нови променливи (ξ, η), в която вълновото уравнение приема различна форма: Такова заместване се извършва от формулите

След заместване на тези производни във вълновото уравнение получаваме:


Q.E.D.

Стъпка 2. Трансформираното уравнение се решава лесно чрез две последователни интеграции (първо по отношение на променливата η, и след това от ξ):



Където C1 (η) Е произволна функция на η. Защото C (ξ) Тогава е произволна функция и също е произволна функция.

И накрая, общо решение U (ξ, η) има формата

Стъпка 3. За да намерим общото решение на първоначалното уравнение, ние заместваме в (25) вместо ξ и η изрази (24):

Стъпка 4. Нека дефинираме функциите С1 и С2, използвайки началните условия от (23). След заместване на първото условие получаваме

Намерете производната на функцията U в (26) по отношение на променливата т и заменете второто условие:

В резултат ще имаме система от уравнения

Ако интегрираме второто уравнение на система (27) над х вариращи от xo преди х, получаваме следната система:

Добавяйки тези уравнения, получаваме

Ако извадим второто уравнение от първото уравнение на системата, тогава ще имаме

Нека сега заместим получените функции в общото решение (26):

Нека разменим границите на интегриране във втория интеграл в скоби в (28). В резултат на това получаваме решение на първоначалния проблем на Коши

Извиква се формула (29) формула на д’Аламбер.

След това изследваме решението, дефинирано от формулата на д’Аламбер.

Пространствено-времева интерпретация на формулата на д’Аламбер

Когато изучаваме формулата на д’Аламбер, ще изхождаме от физическото значение на вълновото уравнение. Помислете за уравнението на свободните вибрации на безкраен низ

и начални условия

Такъв проблем на Коши, чрез промяна на независимата променлива, се свежда до проблем (23):

Решението на трансформирания проблем има формата (виж формулата на д'Аламбер (29):

Ако сега вместо τ заместител в, тогава получаваме решение на първоначалния проблем

Преди да пристъпим към физическата интерпретация на тази формула, правим следната забележка.

Коментирайте. Нека разгледаме отделно функциите C1 (x-at) и C2 (x-at), включени в общото решение (26) (коефициент и се появи в тях, защото сега се интересуваме от по-общо уравнение (30)). Нека започнем с функцията C1 (x-at) и изграждане на графики на тази функция с нарастващи стойности т: t = до, t = t1, t = t2 и т.н. (виж фиг. 8).

Ако тези снимки се прожектират на екрана на свой ред (както в анимационните филми), те ще "тичат" вдясно. Извиква се процесът на преместване на отклонението по струната вълна. Освен това коефициентът и е скорост на разпространение на вълната. Всъщност, да предположим, че паралелно на оста х наблюдателят се движи със скорост и. Нека в някакъв момент да се той беше в точката xo. Тогава за интервала наблюдателят ще се премести надясно със сума и ще бъде в точката Ако в точката xo наблюдателят видя отклонението на струната с количество в момента т размерът на отклонението ще бъде абсолютно същият! Тоест наблюдателят ще види формата на струната, която не се променя.

Втора функция C2 (x-at) също представлява вълна, но само тя ще се разпространява със скорост и наляво. Често функционира C1 (x-at) и C2 (x-at) се извикват съответно, вълна напред и назад. Така че основното решение е U (x, t) (формула (26)) на вълновото уравнение е суперпозиция на напред и назад вълни.

Сега даваме интерпретация на формулата на д’Аламбер за два специални случая.

СЛУЧАЙ 1. Да предположим, че първоначалното отклонение е ненулево и началната скорост е нула. Това означава, че първоначалните условия са във формата

При такива начални условия се получава решение на проблема на Коши, което се нарича деформационна вълна. Уравнението на деформационната вълна се определя по формулата на д'Аламбер


това е решението U в някакъв момент xo в момента да се зависи от стойностите на началната функция φ в две точки на оста х: в точката (xo - ato) и в точката (xo + ato) (виж фиг. 9).

Стойност U е равно на средната аритметична стойност на стойностите на началната функция φ в точки (xo - ato) и (xo + ato). На фиг. 9 показва самолета xOt, което се нарича фазова равнина. По оста х посочени точки (xo - ato, 0) и (xo + ato, 0), в която първоначалните отклонения на низа определят стойността на отклонението на низа в точката xo в момента да се. Тези точки са пресечните точки на линиите x - at = xo - ato и x + при = xo + ato с ос х. Тези редове се наричат характеристики на вълновото уравнение. Триъгълник с връх в точка (хо, да) и основата, която се получава, когато характеристиките се пресичат с оста х (виж фиг. 9) се нарича характерен триъгълник.

Използвайки тази интерпретация на формулата на д’Аламбер, ние изобразяваме фазовата картина на решението на следния проблем:

Коментирайте. Всъщност първоначалните отклонения на низа не могат да бъдат непрекъснати в точки x = -1 и x = 1, в края на краищата низът не се прекъсва. Ние обаче няма да грешим твърде много срещу истинската картина на разпространението на трептенията, ако ги считаме за частично константни. Факт е, че, първо, се разглеждат много малки вибрации на струната, и, второ, малките промени в началните стойности незначително влияят на решението на проблема.

Фигура 10 показва фазовата равнина x0t. Решение U (x, t) проблемът се различава от нулата само в сенчестите области и първоначалното отклонение се разпространява със същата скорост в две противоположни посоки - появяват се вълни напред и назад. Границите на тези региони са характеристиките на уравнението на вълната: x - при = -1, x - при = 1, x + при = -1, x + при = 1.

Ако разгледаме процеса на трептене на някаква фиксирана точка на струната x = xo, тогава е лесно да се види, че то се колебае само за ограничен период от време: от момент на момент, т.е. през останалото време точката xo е в покой. Казват, че в момента t1 през точка x = xo предният ръб на вълната преминава и в момента t2 - задния ръб на вълната. Изобщо, вълнен фронт се нарича границата между смутената (трептяща) и необезпокоявана област на средата (точките на струната). За вълна напред, уравнението на предния ръб x - при = 1, и задния ръб x - при = -1. За обратна вълна, съответно, x + при = -1 - уравнението на предния ръб и x + при = 1 - заден ръб.

СЛУЧАЙ 2. Нека първоначалното отклонение е равно на нула, а началната скорост е различна от нула. Това означава, че първоначалните условия са във формата

В този случай се извиква решението на проблема Коши импулсна вълна. Той има формата (виж формулата на д’Аламбер)


това е решението U в някакъв момент xo в момента да се зависи от началните скорости ψ във всички точки на сегмента [xo - ato, xo + ato] (вижте фигура 11). Стойност U е равно на (интегралната) средна стойност на началната скорост на сегмента [xo - ato, xo + ato] умножено по времевия интервал т.

На фиг. 11 показва фазовата равнина x0t. Точки (xo - ato, 0) и (xo + ato, 0) са пресечните точки на характеристиките x - at = xo - ato и x + при = xo + ato с ос х. Като пример нека дадем фазова картина на решаването на следния проблем:

Фигура: 12 описва процеса на вибрация на струната, който се придава с началната единична скорост на сегмента -един

Когато се изчислява интегралът, винаги е удобно да си представим характерен триъгълник с връх в точка, лежаща в съответната област (вж. Фиг. 12). Тогава стойността U (x, t) ще се определя от стойностите на началната функция ψ (x) в основата на характерния триъгълник.

2. В област 2 функцията

3. В област 3 функцията

4. В област 4 функция

5. В зона 6 функция

Това решение по различно време може да бъде изобразено в самолета x0U (вижте фигура 13). Тук за простота поставяме a = 1.

Графики на функциите U (x, t), показано на фиг. 13, дефинирайте формата на низа по различно време.