Деривативна апроксимация

За да приближите първата производна, можете да използвате формулите:

- дериват с дясна разлика,

- лява разлика производна,

- дериват на централната разлика.

Има много начини за приближаване на производно, които следват от дефиницията на производно:

Въз основа на формулите за апроксимация на разликата на първото производно е възможно да се изгради апроксимация на разликата на второто производно:

(6.3)

По същия начин може да се получат приближения за производни от по-висок ред.

Определение. Грешката при апроксимацията на това производно е разликата .

За да се определи редът на сближаване, се използва разширението на серията Тейлър.

Помислете за приближението на дясната разлика на първата производна:

Тези. дясната диференциална производна има първо да ред на сближаване. Подобни оценки могат да бъдат направени за лявата диференциална производна.

Централната разлика дериват има приближение от втори ред.

Апроксимацията на второто производно по формула (6.3) също има втори ред на приближение.

За да се сближи диференциално уравнение, е необходимо да се заменят всички производни с техните приближения. Помислете за проблем (6.1), (6.2) и заменете производни в (6.1):

В резултат получаваме:

(6.4)

Редът на сближаване на първоначалния проблем е 2, тъй като втората и първата производни се апроксимират с порядък 2, а останалите са точно.

Така че, вместо диференциални уравнения (6.1), (6.2), система от линейни уравнения на формата

(6.5)

да се определят в точките на мрежата. Матрицата на тази система е:

Тази матрица е тридиагонална, т.е. всички ненулеви елементи са разположени върху главния диагонал и два съседни диагонала. За да се разрешат такива SLAE, има икономичен метод за почистване (вж. Стр. 31-32). Решавайки получената система от уравнения, получаваме решение на първоначалния проблем.

За граничния проблем (6.1), (6.2) имаме:

Коефициентите SLAE се определят по формулите:

Директна стъпка на метода за почистване:

, i= 2, 3, ...н.

Обратна стъпка на метода за почистване:

Тогава условието за стабилност (условие за диагонална доминация) има вид:

Нека бъде. Тогава и, следователно, т.е. .

Тогава условието за стабилност има формата и, както се вижда, винаги е вярно.

ПРИМЕР 6.1. Намерете решението на проблема с граничната стойност:

Нека напишем схемата за разлика

Условието за стабилност приема формата

Нека бъде. След това броят на стъпките .

Нека решим SLAE по метода на почистване. SLAE коефициенти:

Директен курс. От първото уравнение намираме:

Сравнявайки този израз с основната формула, виждаме това

От второто уравнение

По същия начин за третото и четвъртото уравнения:

Започваме обратния ход от известната стойност на функцията