Теорема на Hausdorff ε-мрежа

Нека [math] X [/ math] е метрично пространство. След това, приемайки критерия на Коши за съществуването на границата на числова последователност като аксиома, стигаме до концепцията завършен метрично пространство: [математика] \ rho (x_n, x_m) \ до 0 \ Rightarrow \ съществува x \ в X: \ \ rho (x, x_n) \ до 0 [/ math]

Например, във връзка с критерия на Коши, [math] \ mathbb [/ math] е пълно метрично пространство.


От особен интерес са крайните [math] \ varepsilon [/ math] -нет.

Нека [math] K [/ math] е компакт.

Да предположим, че [math] K [/ math] не е съвсем ограничен.

Тогава [математика] \ съществува \ varepsilon_0 \ gt 0 \ \ за всички x_1 \ в K \ \ съществува x_2 \ в K: \ \ rho (x_1, x_2) \ ge \ varepsilon_0 [/ math]. Ако няма такава [math] x_2 [/ math], тогава [math] K [/ math] има [math] \ varepsilon_0 [/ math] -net [math] \ [/ math] .

Тогава има [math] x_3: \ \ rho (x_3, x_j) \ ge \ varepsilon_0, j = \ overline [/ math]. Ако нямаше такава [math] x_3 [/ math], тогава [math] K [/ math] щеше да има [math] \ varepsilon_0 [/ math] -net [math] \ [/ math] .

И т.н. Получаваме набор от точки [math] x_1, x_2, \ ldots [/ math], [math] \ forall i \ ne j: \ \ rho (x_i, x_j) \ geqslant \ varepsilon_0 [/ math] .

Тъй като [math] K [/ math] е компактен, е възможно да изберете конвергентна последователност от тази последователност. Но чрез изграждането на последователността това е невъзможно, имаме противоречие.

[math] K [/ math] - затворен и напълно ограничен.

Помислете за всяка последователност [math] x_n [/ math] в [math] K [/ math]. Нека докажем, че е възможно да се извлече от него сливаща се последователност.

Тъй като множеството е доста ограничено, тогава [math] \ forall \ varepsilon [/ math] ще се съдържа в крайния съюз на топки с радиус [math] \ varepsilon [/ math] .

Помислете за последователността [math] \ \ varepsilon_n = \ frac1n [/ math]. Той се сближава до нула.

Тъй като [math] K [/ math] е доста ограничен, можете да намерите точките [math] y_1, y_2, \ ldots, y_p [/ math] - [math] \ varepsilon [/ math] -net за [math] K [/ математика] .

Има ограничен брой топки. Следователно сред тях има един, който съдържа безкраен брой елементи от последователността.

[math] \ съществува i: \ V_ (y_i) \ ni [/ math] безкрайно много елементи от [math] x_n [/ math]. Нека обозначим [math] V_ (y_i) \ [/ math] като [math] \ overline> [/ math] .

Нека [math] K_1 = \ overline> \ cap K [/ math] е затворен и напълно ограничен. Покриваме го с крайна система от топки с радиус [math] \ varepsilon_2 [/ math]. Сред тях ще изберем този, в който има безкрайно много елементи [math] x_n [/ math]. И т.н.

В резултат се изгражда следната безкрайна таблица:

[math] \ begin $ \ varepsilon_1 $ & $ x_ $ & $ x_ $ & $ x_ $ & \ ldots \\ \ hline $ \ varepsilon_2 $ & $ x_ $ & $ x_ $ & $ x_ $ & \ ldots \\ \ hline $ \ varepsilon_3 $ & $ x_ $ & $ x_ $ & $ x_ $ & \ ldots \\ \ hline $ \ vdots $ & $ \ vdots $ & $ \ vdots $ & $ \ vdots $ & $ \ ddots $ \\ \ край [/ математика]

Първият ред съдържа безкрайно много [math] x_n [/ math] елементи от [math] \ overline> [/ math]. Вторият ред съдържа безкрайно много елементи от [math] \ overline> [/ math]. И т.н.

Помислете за поредица от точки [math] x_, x_, x_, \ ldots [/ math] (Диагоналът на Кантор)

Очевидно това е подпоследователност от първоначалната последователност. Ако докажете, че тя се сближава сама по себе си, тогава тъй като [math] X [/ math] е завършена, тя ще има ограничение.

Тъй като [math] K [/ math] е затворен, границата на тази последователност принадлежи към нея.

Тъй като [math] x _ [/ math] е в [math] n [/ math] th ред, тогава [math] \ rho \ leq 2 \ varepsilon_n [/ math] .

Тъй като [math] \ varepsilon_n \ до 0 [/ math], последователността се сближава сама по себе си, след това, от пълнотата на [math] X [/ math], тя има ограничение.