Сумата от ъглите на триъгълник. Сумата от ъглите на триъгълник

Предварителна информация

Първо, разгледайте директно концепцията за триъгълник.

Триъгълникът е геометрична фигура, която се състои от три точки, свързани с сегменти (фиг. 1).

Точките в рамките на определение 1 ще се наричат ​​върхове на триъгълника.

Сегментите в рамките на определение 1 ще се наричат ​​страните на триъгълника.

Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.

Сумата от ъгли в триъгълник

Въвеждаме и доказваме една от основните теореми, свързани с триъгълниците, а именно теоремата за сумата от ъгли в триъгълник.

Сумата от ъглите във всеки произволен триъгълник е $ 180 ^ \ circ $.

Да разгледаме триъгълника $ EGF $. Нека докажем, че сумата от ъглите в този триъгълник е $ 180 ^ \ circ $. Нека направим допълнителна конструкция: начертайте линията $ XY || EG $ (фиг. 2)

Тъй като линиите $ XY $ и $ EG $ са успоредни, тогава $ ∠E = ∠XFE $ като пресичане на секундата $ FE $ и $ ∠G = ∠YFG $ като напречни линии в секундата $ FG $

Ъгълът $ XFY $ ще бъде разгънат, следователно равен на $ 180 ^ \ circ $.

Опитайте се да помолите учителите за помощ

Теорема за външен ъгъл за триъгълник

Друга теорема за сумата от ъгли за триъгълник е теоремата за външния ъгъл. Като начало представяме тази концепция.

Външният ъгъл на триъгълник ще се нарича ъгъл, който ще бъде съседен на всеки ъгъл на триъгълника (фиг. 3).

Нека сега разгледаме директно теоремата.

Външният ъгъл на триъгълник е сумата от два ъгъла на триъгълник, които не са в съседство с него.

Помислете за произволен триъгълник $ EFG $. Нека има външен ъгъл на триъгълник $ FGQ $ (фиг. 3).

По теорема 1 ще имаме, че $ ∠E + ∠F + ∠G = 180 ^ \ circ $, следователно,

Тъй като ъгълът $ FGQ $ е външен, тогава той е в съседство с ъгъла $ ∠G $, тогава

Задайте въпрос на специалисти и вземете
отговор за 15 минути!

Примерни задачи

Намерете всички ъгли на триъгълник, ако е равностранен.

Тъй като всички страни на равностранен триъгълник са равни, ще имаме, че всички ъгли в него също са равни помежду си. Ние обозначаваме техните градусни мерки с $ α $.

Тогава, по теорема 1, получаваме

Отговор: всички ъгли са равни на $ 60 ^ \ circ $.

Намерете всички ъгли на равнобедрен триъгълник, ако един от ъглите му е равен на $ 100 ^ \ circ $.

Въвеждаме следните обозначения за ъгли в равнобедрен триъгълник:

Тъй като не ни е дадено условието, чийто ъгъл е равен на $ 100 ^ \ circ $, тогава са възможни два случая:

Ъгъл, равен на $ 100 ^ \ circ $ - ъгъл в основата на триъгълника.

По теоремата за ъглите в основата на равнобедрен триъгълник получаваме

Но тогава само тяхната сума ще бъде по-голяма от $ 180 ^ \ circ $, което противоречи на условието на теорема 1. Следователно този случай не се провежда.

Ъгъл, равен на $ 100 ^ \ circ $, е ъгълът между равни страни, т.е.

Тъй като триъгълникът е равнобедрен, тогава $ ∠2 = ∠3 $,

По теорема 1 получаваме

Отговор: $ 40 ^ \ circ $, $ 40 ^ \ circ $, $ 100 ^ \ circ $.

Намерете ъгъла $ XZO $ на фигура 4, ако $ ∠XOZ = 45 ^ \ circ $ и $ ∠Y = 25 ^ \ circ $

Тъй като ъглите в основата на равнобедрен триъгълник са равни, получаваме, че $ ∠X = ∠Y = 25 ^ \ circ $

От триъгълника $ XOZ $, по теорема 1, получаваме

Намерете ъгъла $ XOZ $ на фигура 4, ако $ ∠XZO = 45 ^ \ circ $ и $ ∠Y = 25 ^ \ circ $

Тъй като ъглите в основата на равнобедрен триъгълник са равни, получаваме, че $ ∠X = ∠Y = 25 ^ \ circ $

От триъгълника $ XYZ $, по теорема 1, получаваме

По теорема 2 получаваме

Не намерих отговора
на вашия въпрос?

Просто пиши с това, което ти
нужда от помощ