Прекрасни точки на триъгълника

Прекрасни точки на триъгълника - точки, чието местоположение се определя еднозначно от триъгълника и не зависи от реда, в който са взети страните и върховете на триъгълника.

Те обикновено се намират вътре в триъгълник, но и това не е необходимо. По-специално точката на пресичане на височини може да е извън триъгълника. За други забележителни точки на триъгълника вижте енциклопедията на центровете на триъгълника.

Съдържание

Забележителните точки на триъгълника са

  • Точки на пресичане:
    • Медиана - центроид, център на тежестта (маси);
    • Бисектриса - вътрешен център или център на вписания кръг;
    • Антибисектори - център на антибисектори;
    • Бисектрисата на външните ъгли е центърът на обкръжението;
    • Височина - ортоцентър;
    • Средни перпендикуляри - центърът на ограничената окръжност;
    • Symedian - Lemoine point;
    • Бисектрисата на средния триъгълник (неговия център) е центърът на Шпикер;
    • Триъгълните ножици също са Spieker Center;
    • Три (или дори два) кръга, изградени, като на диаметър, върху сегмент, свързващ основите на вътрешната и външната бисектриса, издадени от единия ъгъл, са две точки на Аполоний;
    • Сегменти, свързващи върховете на триъгълника:
      • с допирни точки на противоположни страни и вписаната окръжност - точка Гергон;
      • с допирни точки на противоположни страни и заобикаля - точка на Нагел;
      • със съответните свободни върхове на равностранни триъгълници, изградени от страните на триъгълника (навън) - първата точка на Торичели;
      • със съответните свободни върхове на правилни триъгълници, изградени вътре в триъгълника - втората точка на Torricelli;
      • със съответните свободни върхове на триъгълници, подобни на оригиналния триъгълник и изградени по неговите страни - точки на Brocard;

Минимакс (крайни) точки на триъгълника са точките, в които се достига минимумът на някаква функция, например сумата от градусите на разстоянията до страните или върховете на триъгълник [1] .

Минималните точки на триъгълника са:

  • Пресичането на три медиани с най-малката сума от квадрати на разстояния до върховете на триъгълника (теорема на Лайбниц).
  • Точката на пресичане на трите медиани на триъгълника е единствената точка на триъгълника, така че три чевианци, изтеглени през него, разделят страните на триъгълника на шест сегмента с краищата си. Освен това произведението с дължините на три от тези шест сегмента, които нямат общи краища, максимално[2]
  • Торичели точка (първа) с най-малката сума от разстояния до върховете на триъгълник с ъгли не повече от 120 градуса.
  • Точка Лемуан с най-малка сума от квадрати от разстояния до страните на триъгълник.
  • Основите на височините на остроъгълен триъгълник образуват ортотриъгълник с най-малкия периметър от всички триъгълници, вписани в този триъгълник.

Изо-точки са точките на триъгълника, даващи всякакви равни параметри на трите триъгълника, които се образуват, когато изо-точката е свързана чрез сегменти с три върха на триъгълника [3]. В резултат се формира форма на драконово око (виж фиг.)

Изо-точки на триъгълник, образуващи форма на драконово око

Изо-точките от този тип триъгълници са:

  • ортоцентър (дава три триъгълника с равни радиуси от три описани окръжности около тях),
  • точката на пресичане на медианите (дава три триъгълника с равни площи)
  • intcenter (дава три триъгълника с еднакви височини)
  • центъра на ограничената окръжност (дава три равнобедрени триъгълника с равни двойки страни),
  • точка от равни периметриP или изопериметрична точка (дава три триъгълника с равни периметри, вижте http://faaching.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html),
  • Торичели точка (първа) (дава три триъгълника с равни тъпи ъгли от 120 градуса).

Изо-точки на триъгълник, образуващи форма "трилистник (възел)"

Изо-точките на триъгълник от този тип са (виж фиг.):

Изо-точки с триъгълник, образуващи форма на цвете Tradescantia

Изо-точките на триъгълника, които образуват формата "Традесканция цвете" (виж фигурата), са както следва:

  • точката на пресичане на медианите образува три малки чевиански сегмента, три четириъгълника с равни площи.
  • точката на пресичане на ъглополовящите образува три перпендикуляра към трите страни на триъгълника, три делтоидни четириъгълника с две еднакви съседни страни за всички. Другата двойка равни съседни страни обикновено е различна за всички. И трите делтоида имат двойка равни противоположни ъгли от 90 градуса. Те са вписани четириъгълници.
  • Три кръга, начертани вътре в триъгълника през точката на Микел, пресичат страните на триъгълника в три точки. Три хорди, изтеглени през точката на Микел, и три точки на пресичане на три кръга с три различни страни на триъгълника образуват равни ъгли със страните.

Други изо-точки на триъгълника

Изо-точките от този тип триъгълници са:

  • Точка Lemoine (точка на равни антипаралели) - точка със свойството: 3 антипаралелни линии, изтеглени през нея (линии, антипаралелни на 3 страни на триъгълника), дават 3 сегмента с еднаква дължина вътре в триъгълника.
  • точка на равни паралели (Равна точка на паралелите) [5]. В известен смисъл тя е подобна на тезата на Лемуан. Точката има свойството: 3 успоредки, изтеглени през нея (линии, успоредни на 3 страни на триъгълника), дават 3 сегмента с еднаква дължина вътре в триъгълника.
  • Скутин точки - точки на равни шевиани от триъгълника. Теорема на Скутин гласи, че три отсечки от линии или чевиани, изчертани вътре в триъгълник през трите му върха и през всеки фокус на описаното Елипсата на Щайнер, са равни помежду си. Тези трикове често се наричат точки на Скутин.

Изо-прав (изолинии) на триъгълник са прави линии, които разрязват даден триъгълник на два триъгълника, които имат всякакви равни параметри [3]. Изо-правите линии на триъгълника са:

  • Медианата на триъгълника отрязва противоположната страна наполовина и разрязва триъгълника на два триъгълника с равни площи.
  • Бисектрисата (Бисектриса) на триъгълник разделя ъгъла, от върха на който излиза.
  • Височината на триъгълника пресича противоположната страна (или неговото продължение) под прав ъгъл (т.е. образува два равни ъгъла със страна от двете му страни) и разрязва триъгълника на два триъгълника с равни (прави) ъгли.
  • Symediana е място на точки в триъгълник, излизащи от един връх, давайки два равни сегмента, антипаралелни на две страни, пресичащи се в този връх, и ограничени от три страни.
  • Разрез на триъгълник периметър наполовина. Триъгълникът за цепене е отсечка от линии с единия край в средата на едната от страните на триъгълника, а другият край от едната от другите две страни. Освен това стрелата е успоредна на една от ъглополовящите на ъгъла. Всеки от стрелите преминава през центъра на тежестта на периметъра на триъгълника ABC, така че и трите стрели се пресичат в центъра на Spieker.
  • Също така прекъсва периметър наполовина Прав отсечка от допирателната точка на страната на триъгълника и ексциркула до върха, противоположен на тази страна. Три такива сегмента на триъгълника, извлечени от три от неговите върхове, се пресичат в точката на Нагел. С други думи, този сегмент е ЧевианаНагел посочва. (Чевиан Нагел точки в английската литература понякога се нарича сплитер (сплитер) или разделител на периметъра наполовина. ДА СЕ сплитер те включват и стрела).
  • Еквалайзер (еквалайзер) или еквалайзер (нивелир) - отсечка от линия, която изрязва триъгълник на две фигури с едновременно равни площи и периметри [6]
  • Малко за еквалайзер (еквалайзер). Всяка права линия (еквалайзер) преминавайки през триъгълника и разделяйки площта на триъгълника и периметъра наполовина преминава през центъра на вписания кръг. Такива прави линии могат да бъдат три, две или една. [7]

Бележка за изо-правоъгълни триъгълници

В английската литература се въвежда понятието бисекции (Бисекция), като разделяне на нещо на две равни части. Например, равнобедрен триъгълник на две равни, отсечка с права линия на две равни, равни ъгли на две равни. Съответните линии ще бъдат частен случай на изолинии (изолинии) на триъгълник.

Важен специален случай на изолинии е т.нар направо n триъгълник. Ред n на триъгълник, излизащ от върха му, разделя противоположната страна по отношение н-x градуса на съседните две страни [8]. Важни специални случаи направо n са:

За направо n триъгълник е много лесно да се намерят най-общо някои свойства. Например за направо n изогонално конюгирано ще бъде прав (2-n), и изотомно конюгиран права линия минус n.

Барицентричните координати на центъра, написани по отношение на страните (или тригонометричните функции на ъглите) на триъгълник, дават възможност да се преведат много проблеми около центровете на триъгълника на алгебричен език. Например разберете дали две дефиниции определят един и същ център или три дадени центъра лежат на една и съща линия.

Могат да се използват и трилинейни координати на центъра, много просто свързани с барицентрични координати. Обаче, например, изогонално конюгирани точки в трилинейни координати се изразяват по-просто.