Логика/2. Забавни задачи/Логически задачи

Графиката е схема, в която се посочва само присъствието на обекти (системни елементи) и наличието и вида на връзката между обектите. Обектите са представени в графиката с върхове (на диаграмата те са обозначени с кръгове, правоъгълници и др.). Връзките между обектите са представени, ако връзката е еднопосочна (обозначена на диаграмата с редове със стрелки) или с ръбове, ако връзката между обектите е двупосочна (обозначена на диаграмата с редове без стрелки). Например, ако трябва да представите в графиката, че е възможен преход от състояние A към състояние B под въздействието на V, тогава това може да се изобрази по следния начин: Ако трябва да си представите, че участник в състезанието е взел n-то място (или, което е същото, n-то място е заето от k-тия участник), то може да бъде изобразено по следния начин:

Задача 5. Марина, Лариса, Жана и Катя знаят как да свирят на различни инструменти (пиано, виолончело, китара, цигулка), но всеки само на един. Те знаят и чужди езици (английски, френски, немски и испански), но всеки един. Знае се:

Момичето, което свири на китара, говори испански.

Лариса не свири нито на цигулка, нито на виолончело и не говори английски.

Марина не свири нито на цигулка, нито на виолончело и не знае нито немски, нито английски.

Момичето, което говори немски, не свири на виолончело.

Жана знае френски, но не свири на цигулка.

Кой на какъв инструмент свири и знае какъв чужд език?

От петото условие, че Жана знае френски, нарисувайте стрелка. От третото условие, че Марина не знае нито немски, нито английски, а Жана знае френски, Марина знае испански и, като се има предвид първото условие, тя свири на китара. От условие №2 виждаме, че Лариса свири на пиано, защото Марина свири на китара, но не може да свири на други инструменти, което означава, че говори немски.

Защото Жана не свири на цигулка, тогава има само един инструмент, на който може да свири - виолончело. Тогава Катя свири на цигулка и знае английски.

Метод шести: Метод на блок-схема

Този раздел обсъжда друг тип логически проблем. Това са задачи, при които се изисква да се измери определено количество течност с помощта на съдове от известни контейнери, както и задачи, свързани с операцията по претегляне на скала. Най-простата техника за решаване на задачи от този клас се състои в изброяване на възможни варианти. Ясно е, че такъв метод на решение не е напълно успешен, трудно е да се отдели някакъв общ подход за решаване на други подобни проблеми.

По-систематичен подход за решаване на проблемите с преливането е използването на блок-схеми. Същността на този метод е следната. Първо се подчертават операциите, които ни позволяват да измерваме точно течността. Тези операции се наричат команди. След това се установява последователността на изпълнение на избраните команди. Тази последователност е съставена под формата на диаграма. Такива вериги се наричат блок-схеми и се използват широко при програмирането. Изготвената блок-схема е програма, изпълнението на която може да ни доведе до решението на разглежданата задача. За целта е достатъчно да се отбележи какви количества течност е възможно да се получат, когато компилираната програма работи. В този случай обикновено се попълва отделна таблица, в която се въвежда количеството течност във всеки от наличните съдове.

Задача 6. Съдовете са два - трилитрови и петлитрови. Необходимо е, използвайки тези съдове, да се получат 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литра вода. Разполагаме с кран и мивка, където можете да налеете вода.

Решение. Ние изброяваме всички възможни операции, които могат да бъдат използвани от нас, и въвеждаме следните съкращения за тях: NB - напълнете по-голям съд с чешмяна вода; NM - напълнете по-малък съд с чешмяна вода; OB - изпразване на по-големия съд чрез изливане на вода в мивката; OM - изпразване на по-малкия съд чрез изливане на вода в мивката; B → M - прелива се от по-голям на по-малък, докато по-големият съд се изпразни или по-малкият съд се напълни; M → B - преливайте от по-малкия към по-големия, докато по-малкият съд се изпразни или по-големият съд се напълни. Нека посочим само три от изброените отбори: NB, B → M, OM. В допълнение към тези три команди, помислете за още две помощни команди: B = 0? - вижте дали по-големият съд е празен; М = Z? - вижте дали малкият съд е пълен. В зависимост от резултатите от тази проверка, ние пристъпваме към изпълнението на следващата команда, използвайки един от двата клавиша - „да“ или „не“. Такива команди в програмирането обикновено се наричат команди "условен скок" и са изобразени в блокови диаграми под формата на диамант с два изходни превключвателя. Сега нека се договорим за последователността на изпълнение на избраните команди. След B → M, ние ще изпълняваме OM всеки път, когато по-малкият съд се напълни, и NB всеки път, когато по-големият съд се изпразни. Ще изобразим последователността от команди под формата на блок-схема (фиг. 1). Нека започнем да изпълняваме програмата. Ще запишем как се променя количеството вода в съдовете, ако действаме по дадената схема. Резултатите са представени под формата на таблица (таблица)

Освен това тази последователност ще бъде напълно повторена. От таблицата виждаме, че количеството вода в двата съда заедно образува следната последователност: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т.н. По този начин, следвайки горната схема, можете да измерите произволен брой литри от 1 до 7. За да измерите 8 литра повече, двата съда трябва да бъдат напълнени.

Задача 7. Сред четирите монети една е фалшива. Той се различава по маса, но не е известно дали е по-лек или по-тежък. Масата на истинска монета е 5 г. Как може да се открие фалшива монета с помощта на две претегляния на везна, ако има една тежест с тегло 5 g? Възможно ли е при тези условия да се установи дали фалшивата монета е по-лесна или по-тежка?

Решение. Нека m1, m2, m3, m4 са съответно масите на четири монети, а Г - масата на тежестта. Нека формулираме решението под формата на блок-схема (виж фиг.). Горната диаграма определя програма, чието изпълнение ви позволява да инсталирате фалшива монета и да определите дали е по-лека или по-тежка. Тежестите в блоковата диаграма съответстват на правоъгълници - оператори на условен скок. Първото и второто претегляне са маркирани с хоризонтални линии на диаграмата.

Надяваме се, че сте запознати с играта на билярд на правоъгълна маса с джобове. Появявайки се преди нашата ера в Индия и Китай, билярдът е мигрирал в европейските страни през вековете - той се споменава в английските анали от 6-ти век. В Русия билярдът става известен и се разпространява по времето на Петър I.

Точно както хазартните игри със зарове родиха "смятането" на вероятностите, играта на билярд беше обект на сериозни научни изследвания в областта на механиката и математиката. Представете си хоризонтална билярдна маса със свободна форма, но без джобове. Точковата топка се движи по тази маса без триене, като е абсолютно еластично отразена от страните на масата. Въпросът е каква може да бъде траекторията на тази топка? Търсенето на отговор на този въпрос породи теорията на математическия билярд или теорията на траекториите.

Проблемите с прехвърлянето на течности могат да бъдат решени много лесно, като се изчертае билярдната пътека на топка, отскачаща от страните на паралелограмна маса. Помислете за същия проблем като в предишния раздел (метод на блок-схема). Задача 8. Съдовете са два - трилитрови и петлитрови. Необходимо е, използвайки тези съдове, да се получат 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литра вода. Разполагаме с кран и мивка, където можете да налеете вода.

Решение. В разглеждания проблем страните на успоредник трябва да имат дължини от 3 и 5 единици. Хоризонтално ще поставим количеството вода в литри в 5-литров съд и вертикално в 3-литров съд. Целият паралелограм има решетка от еднакви равностранни триъгълници (вж. Фиг. 1)

Билярдната топка може да се движи само по прави линии, които образуват решетка на успоредник. След като удари страната на паралелограма, топката се отразява и продължава да се движи по страната, оставяйки точката, където е настъпил сблъсъкът. Освен това всяка точка на успоредника, в която се случва сблъсъкът, напълно характеризира колко вода има във всеки от съдовете. Нека топката да е в долния ляв ъгъл и след удара ще започне да се движи нагоре по лявата страна на успоредника, докато достигне горната страна в точка А. Това означава, че сме напълнили напълно малкия съд с вода. Отразявайки еластично, топката ще се претърколи надолу надясно и ще удари долната дъска в точка Б, координатите на която са 3 хоризонтално и 0 вертикално. Това означава, че в голям съд има 3 литра вода, но в малък съд няма вода, тоест изляхме вода от малък съд в голям съд. Проследявайки по-нататъшния път на топката и записвайки всички етапи от нейното движение под формата на отделна таблица (Таблица 1), в крайна сметка стигаме до точка Н, която съответства на състоянието, когато малкият съд е празен, а в големия съд има 4 литра вода. По този начин се получава отговорът и се посочва последователността на трансфузиите, което позволява да се измерват 4 литра вода. Всички 8 трансфузии са показани схематично в таблицата. Това ли е най-краткото решение? Не, има и втори начин, когато водата първо се излива в петлитров съд. Ако на диаграмата топката се търкаля от точка O надясно по долната страна на паралелограма и след това, отразена от дясната страна, до точка 2 от горната страна на паралелограма и т.н., тогава получаваме по-кратко решение на проблемът. Може да се покаже, че полученото решение с 6 трансфузии вече е най-краткото.

Касичка с интересни задачи

Левин, Митерев, Набатов работят в банка като счетоводител, касиер и икономист. Ако Набатов е икономист, тогава Митерев е счетоводител. Ако Митерев не е касиер, тогава Левин не е икономист. Ако Левин е счетоводител, тогава Набатов е икономист. Кой каква длъжност заема?

В състезанията по гимнастика участват Аня, Валя, Таня и Даша. Феновете правят прогнози: 1) Таня ще заеме I място, Валя - II; 2) Таня ще заеме II място, Даша - III; 3) Аня ще заеме II място, Даша - IV. В края на състезанието се оказа, че във всяко предположение само едно от твърденията на всеки фен е вярно, другото е невярно. Какви са резултатите от състезанието, ако на всяко място има по едно момиче?

Не знаеше разговора между Сирупчик, Пилюлкин, Торопижка и Знайка. Известно е, че всеки от тях или винаги лъже, или винаги казва истината. 1) Сироп обвини Пилюлкин, че е лъжец. 2) Знайка каза на Сироп: "Ти самият си лъжец!" 3) Роропижка каза: "И двамата са лъжци." 4) Знайка попита звездата "А аз?" 5) На което Торопижка отговори "И ти също си лъжец!" „Кой от тях казва истината?“ - не беше изненадан Дън. Помогни му.

В класа има 36 души. 18 души посещават математическия кръг, 14 физически, 10 химически, 2 души посещават и трите кръга, 8 - математически и физически, 5 - математически и химически, 3 - физически и химически кръгове. Колко ученици в класа не посещават никакви кръгове?

На състезанията по лека атлетика Андрей, Боря, Серьожа и Володя заеха първите четири места. Но когато момичетата започнаха да си спомнят как тези места бяха разпределени между победителите, мненията се разминаха: Даша: Андрей беше първият, а Володя беше вторият Галя: Андрей беше вторият, а Борис беше третият Лена: Боря беше четвъртият, а Серьожа беше втората Ася: всяко момиче направи едно правилно и едно грешно изявление

Как да излеете половината от пълен съд с вместимост 12 литра, като използвате два празни съда с вместимост 8 и 5 литра?

Сред 101 монети от същия тип едната е фалшива, различна по тегло. Как да използваме везна без тежести в две претегляния, за да определим дали фалшива монета е по-лека или по-тежка? Няма нужда да намирате фалшива монета.

Условия на проблема. 1. Има 5 къщи, всяка с различен цвят. 2. Всяка къща има по един човек, който се различава от съседната по националност: германец, англичанин, швед, датчанин, норвежец. 3. Всеки пие само една конкретна напитка, пуши определена марка цигари и отглежда конкретно животно. 4. Никой от 5-те души не пие едни и същи напитки с другите, не пуши едни и същи цигари и не отглежда едно и също животно. Въпрос: кой притежава рибата? Съвети: 1. Англичанин живее в червена къща. 2. Шведът държи кучето. 3. Датчанинът пие чай. 4. Зелената къща е вляво от бялата. 5. Наемателят на оранжерията пие кафе. 6. Човекът, който пуши Pall Mall, държи птица. 7. Наемателят от средната къща пие мляко. 8. Наемателят от жълтата къща пуши Dunhill. 9. Норвежецът живее в първата къща. 10. Пушачът Marlboro живее до този, който държи котката. 11. Човекът, който държи коня, живее до човека, който пуши Dunhill. 12. Пушачът на цигари Winfield пие бира. 13. Норвежецът живее близо до синята къща. 14. Германецът пуши Rothmans. 15. Пушач от Marlboro живее в съседство с мъж, който пие вода.