Лапласова трансформация

Лапласова трансформация - интегрална трансформация, свързваща функцията на комплексна променлива (снимка) с реална променлива функция (оригинален). Използва се за изследване на свойствата на динамичните системи и за решаване на диференциални и интегрални уравнения.

Една от характеристиките на трансформацията на Лаплас, която предопределя широкото й използване в научни и инженерни изчисления, е, че много съотношения и операции върху оригинали съответстват на по-прости съотношения върху техните изображения. По този начин, свиването на две функции се намалява в пространството на изображението до операцията на умножение и линейните диференциални уравнения стават алгебрични.

Съдържание

Определение

Директно преобразуване на Лаплас

Трансформацията на Лаплас на функция от реална променлива е функция на комплексна променлива, така че:

Извиква се дясната страна на този израз интегралът на Лаплас.

Обратна трансформация на Лаплас

Обратното преобразуване на Лаплас на функция от комплексна променлива е функция на реална променлива, такава че:

където е някакво реално число (виж условията на съществуване). Дясната страна на този израз се нарича интеграл на Бромвич.

Двустранно преобразуване на Лаплас

Двустранното преобразуване на Лаплас е обобщение на случая на проблеми, в които стойностите х

Дискретно преобразуване на Лаплас

Използва се в областта на компютърните системи за управление. Дискретно преобразуване на Лаплас може да се приложи към решетъчни функции.
Разграничаване на -трансформация и -трансформация.

  • -трансформация

Позволявам е решетъчна функция, тоест стойностите на тази функция се определят само в отделни моменти във времето, където е цяло число и е периодът на вземане на проби.
След това прилагайки трансформацията на Лаплас получаваме:

  • -трансформация

Ако приложим следната промяна на променливите:
,
получаваме Z-трансформация:

Свойства и теореми

  • Абсолютна конвергенция

Ако интегралът на Лаплас се сближава абсолютно за σ = σ0, т.е. има ограничение

,

тогава тя се сближава абсолютно и еднакво за и F(с) Е аналитична функция за (е реалната част на сложна променлива с ). Точният инфимум σа извиква се множеството числа σ, за които е изпълнено това условие абсциса на абсолютна конвергенция Трансформация на Лаплас за функцията е(х) .

  • Условия за съществуването на директното преобразуване на Лаплас

Трансформацията на Лаплас съществува в смисъла на абсолютна конвергенция в следните случаи:

  1. Случай: Лапласовата трансформация съществува, ако има интеграл
  2. Дело σ> σа: преобразуването на Лаплас съществува, ако интегралът съществува за всяко крайно х1> 0 и за
  3. Дело σ> 0 или σ> σа (коя от границите е по-голяма): преобразуването на Лаплас съществува, ако има функция на Лаплас за функцията е'(х) (производно на е(х)) за σ> σа .

Забележка: това са достатъчни условия за съществуването.

  • Условия за съществуването на обратното преобразуване на Лаплас

За съществуването на обратното преобразуване на Лаплас са достатъчни следните условия:

1. Ако изображението F(с) Дали е аналитична функция за и има ред по-малък от -1, тогава обратната трансформация за нея съществува и е непрекъсната за всички стойности на аргумента и за

2. Нека, така че да е аналитично по отношение на всеки zк и е равно на нула за, и, тогава съществува обратната трансформация и съответната директна трансформация има абсцисата на абсолютна конвергенция.

Забележка: това са достатъчни условия за съществуването.

Трансформацията на Лаплас на конволюцията от два оригинала е продукт на изображения на тези оригинали.

Лявата страна на този израз се нарича интеграл на Дюамел, който играе важна роля в теорията на динамичните системи.

  • Диференциране и интегриране на оригинала

Изображението на Лаплас на първата производна на оригинала по отношение на аргумента е произведение на изображението от аргумента на последния минус оригинала при нула вдясно.

По-общо (производното н -ти ред):

Образът на Лаплас на интеграла на оригинала по отношение на аргумента е образът на оригинала, разделен на неговия аргумент.

  • Диференциация и интеграция на изображения

Обратното преобразуване на Лаплас на производната на изображението по отношение на аргумента е произведение на оригинала от неговия аргумент, взето с противоположния знак.

Обратната трансформация на Лаплас на интеграла на изображението върху аргумент е оригиналът на това изображение, разделен на неговия аргумент.

  • Изоставащи оригинали и изображения. Пределни теореми

Теореми за начална и крайна стойност (гранични теореми):

, всички полюси в лявата полуплоскост

Теоремата за крайните стойности е много полезна, тъй като описва поведението на оригинала в безкрайност, използвайки проста връзка. Това например се използва за анализ на стабилността на траекторията на динамична система.

  • Други свойства

Умножение по число

Директно и обратно преобразуване на Лаплас на някои функции

По-долу е дадена таблица на преобразуването на Лаплас за някои функции.