Лапласова трансформация
Лапласова трансформация - интегрална трансформация, свързваща функцията на комплексна променлива (снимка) с реална променлива функция (оригинален). Използва се за изследване на свойствата на динамичните системи и за решаване на диференциални и интегрални уравнения.
Една от характеристиките на трансформацията на Лаплас, която предопределя широкото й използване в научни и инженерни изчисления, е, че много съотношения и операции върху оригинали съответстват на по-прости съотношения върху техните изображения. По този начин, свиването на две функции се намалява в пространството на изображението до операцията на умножение и линейните диференциални уравнения стават алгебрични.
Съдържание
Определение
Директно преобразуване на Лаплас
Трансформацията на Лаплас на функция от реална променлива е функция на комплексна променлива, така че:
Извиква се дясната страна на този израз интегралът на Лаплас.
Обратна трансформация на Лаплас
Обратното преобразуване на Лаплас на функция от комплексна променлива е функция на реална променлива, такава че:
където е някакво реално число (виж условията на съществуване). Дясната страна на този израз се нарича интеграл на Бромвич.
Двустранно преобразуване на Лаплас
Двустранното преобразуване на Лаплас е обобщение на случая на проблеми, в които стойностите х
Дискретно преобразуване на Лаплас
Използва се в областта на компютърните системи за управление. Дискретно преобразуване на Лаплас може да се приложи към решетъчни функции.
Разграничаване на -трансформация и -трансформация.
- -трансформация
Позволявам е решетъчна функция, тоест стойностите на тази функция се определят само в отделни моменти във времето, където е цяло число и е периодът на вземане на проби.
След това прилагайки трансформацията на Лаплас получаваме:
- -трансформация
Ако приложим следната промяна на променливите:
,
получаваме Z-трансформация:
Свойства и теореми
- Абсолютна конвергенция
Ако интегралът на Лаплас се сближава абсолютно за σ = σ0, т.е. има ограничение
,
тогава тя се сближава абсолютно и еднакво за и F(с) Е аналитична функция за (е реалната част на сложна променлива с ). Точният инфимум σа извиква се множеството числа σ, за които е изпълнено това условие абсциса на абсолютна конвергенция Трансформация на Лаплас за функцията е(х) .
- Условия за съществуването на директното преобразуване на Лаплас
Трансформацията на Лаплас съществува в смисъла на абсолютна конвергенция в следните случаи:
- Случай: Лапласовата трансформация съществува, ако има интеграл
- Дело σ> σа: преобразуването на Лаплас съществува, ако интегралът съществува за всяко крайно х1> 0 и за
- Дело σ> 0 или σ> σа (коя от границите е по-голяма): преобразуването на Лаплас съществува, ако има функция на Лаплас за функцията е'(х) (производно на е(х)) за σ> σа .
Забележка: това са достатъчни условия за съществуването.
- Условия за съществуването на обратното преобразуване на Лаплас
За съществуването на обратното преобразуване на Лаплас са достатъчни следните условия:
1. Ако изображението F(с) Дали е аналитична функция за и има ред по-малък от -1, тогава обратната трансформация за нея съществува и е непрекъсната за всички стойности на аргумента и за
2. Нека, така че да е аналитично по отношение на всеки zк и е равно на нула за, и, тогава съществува обратната трансформация и съответната директна трансформация има абсцисата на абсолютна конвергенция.
Забележка: това са достатъчни условия за съществуването.
Трансформацията на Лаплас на конволюцията от два оригинала е продукт на изображения на тези оригинали.
Лявата страна на този израз се нарича интеграл на Дюамел, който играе важна роля в теорията на динамичните системи.
- Диференциране и интегриране на оригинала
Изображението на Лаплас на първата производна на оригинала по отношение на аргумента е произведение на изображението от аргумента на последния минус оригинала при нула вдясно.
По-общо (производното н -ти ред):
Образът на Лаплас на интеграла на оригинала по отношение на аргумента е образът на оригинала, разделен на неговия аргумент.
- Диференциация и интеграция на изображения
Обратното преобразуване на Лаплас на производната на изображението по отношение на аргумента е произведение на оригинала от неговия аргумент, взето с противоположния знак.
Обратната трансформация на Лаплас на интеграла на изображението върху аргумент е оригиналът на това изображение, разделен на неговия аргумент.
- Изоставащи оригинали и изображения. Пределни теореми
Теореми за начална и крайна стойност (гранични теореми):
, всички полюси в лявата полуплоскост
Теоремата за крайните стойности е много полезна, тъй като описва поведението на оригинала в безкрайност, използвайки проста връзка. Това например се използва за анализ на стабилността на траекторията на динамична система.
- Други свойства
Умножение по число
Директно и обратно преобразуване на Лаплас на някои функции
По-долу е дадена таблица на преобразуването на Лаплас за някои функции.
- НОРМАЛИЗИРАЩА ТРАНСФОРМАЦИЯ превод от руски на английски, превод от руски на английски
- Книга на дамата с белезници, страница 24
- LLC МЕЖДУНАРОДЕН ЦЕНТЪР ЗА ПАРАФАРМАЦЕВТИКА, КРАСНОДАР КРАЙ, район ЩЕРБИНОВСКИ, ул. Ца
- Книга Магическите свойства на звуците и символите
- No-shpa инструкции за употреба при диария и гадене, дозировка