Геодезически пространствени координатни системи

Разглеждат се трансформации между пространствени координатни системи. Даден е пример за софтуерна реализация в Python.

Съдържание

Земен елипсоид

Земният елипсоид е елипсоид на въртене, чиято повърхност по форма и размер е доста близо до повърхността на геоида.

Повърхността на елипсоида се формира от въртенето на елипсата около нейната малка ос, която е и оста на въртене на елипсоида.

Елипсата обикновено се определя от размера на нейната полу-голяма ос а и компресия е. По-рядко вместо компресия се посочва размерът на полу-малката ос б:

В теорията и практиката на изчисленията широко се използват параметри като полярния радиус на кривината на повърхността. ° С, първа ексцентричност д и втора ексцентричност e ′:

Пример за функция на Python, която изчислява от а и е параметри б, ° С, д и e ′:

Координатни системи

Обмислете следните координатни системи.

Геоцентрични декартови правоъгълни координати:
- началото е в центъра на елипсоида,
- ос z разположени по оста на въртене на елипсоида и насочени към северния полюс,
- ос х лежи в пресечната точка на екватора и основния меридиан,
- ос у лежи в пресечната точка на екватора и меридиана с дължина L = 90 °.
Геодезическа координатна система: геодезическа ширина Б. ъгъл между нормалата към повърхността на елипсоида и равнината на екватора, геодезическа дължина L ъгълът между равнините на дадения и началния меридиан, геодезическа височина З. най-краткото разстояние до елипсоидната повърхност.
Топоцентрични декартови правоъгълни координати:
- произходът е в някакъв момент Въпрос:₀ (Б.₀, L₀, З.₀) над елипсоида,
- ос z разположени по протежение на нормала към повърхността на елипсоида и насочени нагоре,
- ос х разположени в равнината на меридиана и насочени на север,
- ос у перпендикулярно на осите х и z и насочени на изток.

В допълнение към широкото му използване за геодезически цели, всяка от представените координатни системи намира важно приложение в приложните области.

Геодезическите координати се използват в навигацията и картографията още от сивата античност. В картографията те са основата за изграждане на проекции.

За изчисляване на сателитни орбити и решаване на други орбитални проблеми е необходима геоцентрична координатна система.

Проекциите, използвани от картографите в различни страни, се основават на различни геодезически данни, т.е. създадени върху различни елипсоиди с различни размери, позиции на центрове и ориентации на оси в пространството. Най-лесният и точен начин за преизчисляване на координатите, дадени в различни данни, се основава на трансформации между геодезични и геоцентрични системи. По принцип схемата за преизчисляване на координатите между две проекции се изпълнява на пет етапа:

координати на първата проекция - до геодезически координати на първия елипсоид,
геодезически координати - към геоцентрични координати на първата опорна точка,
геоцентрични координати на първата база - до геоцентрични координати на втората точка,
геоцентрични координати - до геодезически координати на втория елипсоид,
геодезически координати - в координати на втората проекция.

Топоцентричната координатна система е естествена система за работа на различни наземни обекти: ракетни комплекси за изстрелване, сателитни станции за проследяване, станции за ПВО и други измервателни комплекси. Естествено, събраната информация във всеки случай се трансформира в обща координатна система, свързана със Земята - геодезична координатна система.

Координатни трансформации

Преход от геодезически координати към геоцентрични координати

Тази трансформация се извършва, като се използват следните формули:

Тук н - така наречения радиус на кривина на първата вертикала:

Внедряване на Python:

Преход от геоцентрични координати към геодезически координати

Географската дължина е най-лесната за изчисляване:

По-трудно е да се определи географската ширина и надморска височина. Има много начини да постигнете това. Нека използваме итеративния метод Bowring.

В началото е предварителна оценка на географската ширина Б.:

Тук r - геоцентричен радиус вектор, стр - разстояние от оста на въртене на елипсоида:

След това параметърът се изчислява θ (намалена географска ширина) и се получава актуализираната стойност на географската ширина:

Действията съгласно последните две формули трябва да се повтарят до сближаване до необходимата точност. Обикновено е достатъчна една итерация. В примера за изпълнение на метода Bowring по-долу са програмирани две итерации.

В края се определя височината:

Преход от геоцентрични координати към топоцентрични координати

Постановка на проблема: произходът на топоцентричната координатна система се дава от точка Въпрос:₀ (Б.₀, L₀, З.₀); чрез геоцентрични координати на точка Въпрос: (х, у, z) изчислява неговите топоцентрични координати.

Конформното преобразуване между две декартови правоъгълни координатни системи винаги може да бъде представено чрез последователност от отмествания и завъртания на координатната система. Тази трансформация може да бъде изпълнена съгласно следния алгоритъм:

изместване на началото по оста z по сумата д² н₀ грях Б.₀ към върха на конуса, образуван от нормали, успоредни на географска ширина Б.₀,
завъртете координатна система около ос z в ъгъла L₀ така че оста х беше в равнината на меридиана на точката Въпрос:₀,
завъртете координатна система около ос у под ъгъл от 90 ° - Б.₀ така че оста z съвпадна с нормалата към повърхността на елипсоида в точката Въпрос:₀,
изместване на началото по оста z по сумата н₀ + З.₀ да посочи Въпрос:₀,
промяна на знака х на обратното.

Функция toTopo () съдържа повиквания към функцията за въртене завъртане ():

Преход от топоцентрични координати към геоцентрични координати

Постановка на проблема: произходът на топоцентричната координатна система се дава от точка Въпрос:₀ (Б.₀, L₀, З.₀); чрез топоцентрични координати на точка Въпрос: (х, у, z) изчислява неговите геоцентрични координати.

Алгоритъмът на решението се получава чрез обръщане на алгоритъма на обратната задача:

промяна на знака х на обратното,
изместване на началото по оста z по сумата н₀ + З.₀ до точката на пресичане с оста на въртене на елипсоида,
завъртете координатна система около ос у в ъгъла Б.₀ - 90 °, така че оста z съвпадна с оста на въртене на елипсоида,
завъртете координатна система около ос z в ъгъла -L₀ така че оста х се озова в равнината на първоначалния меридиан,
изместване на началото по оста z по сумата д² н₀ грях Б.₀ към центъра на елипсоида.

Преход от геодезически координати към топоцентрични. Обратен пространствен проблем

Постановка на проблема: произходът на топоцентричната координатна система се дава от точка Въпрос:₀ (Б.₀, L₀, З.₀); чрез геодезически координати на точка Въпрос: (Б., L, З.) изчислява неговите топоцентрични координати х, у, z.

Проблемът се решава чрез последователно прилагане на готови алгоритми:

чрез геодезически координати на точка Б., L, З. изчислява неговите геоцентрични координати х, у, z,
чрез геоцентрични координати на дадена точка, изчислете нейните топоцентрични координати х, у, z.

Разглежданият проблем е един вид обратен геодезичен проблем в пространството. Вместо декартови правоъгълни топоцентрични координати, може да се наложи да се изчислят някои други свързани величини, например полярни координати "разстояние-азимут-зенит разстояние", опциите могат да бъдат различни. Въпреки това, в повечето случаи, топоцентричен х, у, z, с което се показват желаните стойности.

Преход от топоцентрични координати към геодезически. Пряк пространствен проблем

Постановка на проблема: произходът на топоцентричната координатна система се дава от точка Въпрос:₀ (Б.₀, L₀, З.₀); чрез топоцентрични координати на точка Въпрос: (х, у, z) изчислява геодезическите му координати Б., L, З..

Проблемът се решава чрез изчисляване на геоцентрични координати:

чрез тороцентрични координати на точка х, у, z изчислява неговите геоцентрични координати,
чрез геоцентрични координати на точка х, у, z изчислява неговите геодезически координати Б., L, З..

Този проблем е вид пряк геодезически проблем в космоса. Вместо декартови правоъгълни топоцентрични координати могат да бъдат посочени някои други свързани величини, например полярни координати "обхват-азимут-зенитно разстояние", опциите могат да бъдат различни. Въпреки това, в повечето случаи, топоцентричен х, у, z, с което проблемът се решава.

Пример за внедряване на софтуер

Кодовете на горните функции са в архива Spheroid.zip във файла spheroid.py. Нека напишем програми, които ги използват за трансформиране на координати.

Преобразуване на топоцентрични координати в геодезически координати

Тази примерна програма изрично задава параметрите на елипсоида а, е и геодезически координати на началото на топоцентричната система Б.₀, L₀, З.₀. Точкови координати х, у, z четене от файла с данни и преизчислени стойности Б., L, З. изход към конзолата.

Този скрипт се намира в архива Spheroid.zip във файла forwrd3d.py.

Файлът с данни трябва да съдържа координатите на една точка във всеки ред х, у, z, разделени с интервал. Нека създадем файл с данни fwd3d.dat:

Нека изпълним скрипта в командния ред:

Изходни координати:

Нека запишем получените координати във файла с резултати inv3d.dat:

Преобразуване на геодезически координати в топоцентрични

Тази примерна програма изрично задава параметрите на елипсоида а, е и геодезически координати на началото на топоцентричната система Б.₀, L₀, З.₀. Точкови координати Б., L, З. четене от файла с данни и преизчислени стойности х, у, z се извеждат към конзолата.