Диференцируеми картографирания в нормирани пространства

С [math] X = Y = \ mathbb [/ math], получаваме дефиницията на диференциала и производната на функция от една променлива.

Нека установим теорема, обобщаваща класическото правило за диференциране на сложна функция:

Доказателството копира класическото доказателство, замествайки знака модул със знака норма.

По дефиницията на диференциала [math] \ Delta z = g (y_0 + \ Delta y) - g (y_0) = g '(y_0) \ Delta y + o (\ Delta y) [/ math] и [math] \ Delta y = f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0) = f '(x_0) \ Delta x + o (\ Delta x) [/ math]

[math] g [/ math] се дефинира в околността на точката [math] y_0 [/ math]. Тъй като [math] \ Delta y \ to 0 [/ math] за [math] \ Delta x \ to 0 [/ math] и [math] y_0 = f (x_0) [/ math], то за [math] \ Delta x \ до 0 [/ math], [math] f (x_0 + \ Delta x) [/ math] принадлежи към квартала на точката [math] y_0 [/ math] .

Тогава функцията [math] z = g (f (x)) [/ math] за [math] x = x_0 + \ Delta x, \ \ Delta x \ to 0 [/ math] е добре дефинирана.

[math] \ Delta y = f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0) [/ math]

[math] \ Delta g = g (f (x_0) + (f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0))) - g (f (x_0)) = [/ math] [math] g (f ( x_0 + \ Delta x)) - g (f (x_0)) = [/ math] (по дефиниция на диференциала за [math] g (y) [/ math]) [math] g '(y_0) (f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0)) + o (\ Delta y) = [/ math] (по дефиницията на диференциала за [math] f (x) [/ math]) [math] g ' (y_0) f '(x_0) \ Delta x + g' (y_0) o (\ Delta x) + o (\ Delta y) [/ math]

Общо получаваме: [math] \ Delta g = g '(y_0) f' (x_0) \ Delta x + g '(y_0) o (\ Delta x) + o (\ Delta y) [/ math]

Оставяйки [math] \ Delta x \ на 0 [/ math], получаваме [math] dz = g '(y_0) f' (x_0) \ Delta x [/ math]

За пълно щастие остава да се докаже, че [math] o (\ Delta x) = o (\ Delta y) [/ math] .