Числови системи под формата на представяне на информация на компютърна цел на работата

Лабораторна работа No1

ФОРМИ ЗА ПРЕДСТАВЯНЕ НА ИНФОРМАЦИЯ НА КОМПЮТЪРА.

Изучавайте позиционни и непозиционни бройни системи, както и форми на представяне на информация на компютър.

Получете уменията за определяне на количеството информация в конкретно съобщение; преобразуване на числа от една числова система в друга, както и извършване на основни математически операции с числа в различни бройни системи.

Проучете подробно указанията и препоръчаната литература.

Изпълнете задачи, според получената опция.

Методически указания

Числова система наречен набор от техники за именуване и писане на числа. Във всяка бройна система се избират определени символи (думи или знаци), които представляват числа, наречени базисни номера, а всички останали числа се получават в резултат на всякакви операции от базовите числа на дадената система на смятане. Символите, използвани за писане на числа, могат да бъдат всякакви, само те трябва да са различни и значението на всеки от тях трябва да бъде известно. В съвременния свят най-разпространено е представянето на числа чрез арабските цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - специални знаци, използвани за писане на числа. Числовите системи се различават по избора на основни числа и правилата за образуване на останалите числа от тях. Например в римската цифрова система основните числа са 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, които се означават със знаците I, V, X, L, C, D, M и други са получени чрез добавяне и изваждане на основното.

Позиционни и непозиционни бройни системи

За представяне (или представяне) на числа в момента се използват главно позиционни бройни системи. Десетичната бройна система е позната на всеки. В тази система за писане на произволни числа се използват само десет различни знака (цифри): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Тези числа са въведени, за да означават първите десет последователни числа, а следващото число е 10 и т.н. се показва, без да се използват нови номера. Въвеждането на това обозначение обаче направи важна стъпка в изграждането на числовата система: стойността на всяка цифра се поставя в зависимост от мястото (позицията), където тя стои в образа на числото.

По този начин се извиква системата позиционен, ако стойността на всяка цифра (нейното тегло) се променя в зависимост от нейната позиция (позиция) в последователността от цифри, представляващи числото. Първата известна система, базирана на позиционния принцип, е вавилонската шейсетте. Числата в него бяха два вида, единият от които обозначаваше единици, а другият - десетки. Следите от вавилонската система са оцелели и до днес в методите за измерване и запис на ъгли и интервали от време.

IN непозиционен числови системи от позицията на цифрата в числовия запис не зависи количеството, което обозначава. Пример за непозиционна бройна система е римската система, която използва латински букви като цифри:

Например VI = 5 + 1 = 6 и IX = 10 - 1 = 9.

В позиционната бройна система се сравняват две числа, както следва: в разглежданите числа отляво надясно се сравняват числата в същите позиции. По-голямата цифра съответства на по-голямата стойност на числото. Например за числа 123 и 234 1 0 = 1

5 = 1012 - 1  2 2 + 0  2 1 +1  2 0 = 4 + 0 + 1 = 5

9 = 10012 - 1  2 3 + 0  2 2 + 0  2 1 + 1  2 0 = 8 + 0 + 0 +1 = 9

Двоичната аритметика следва същите правила като десетичната. Само в двоичната система прехвърлянето на единици в най-значимия бит се случва по-често, отколкото в десетичната. Ето как изглежда таблицата за добавяне в двоичен файл:

1 + 1 = 0 (пренасяне на 1 до най-значимия бит)

Таблица за умножение за двоични числа:

Нека разгледаме примери за основни аритметични операции с двоични числа.

1.1. Намерете сумата от числата 1001012 и 10102.

Решение. Според двоичната таблица за добавяне:

1.2. Намерете сумата от 10012 и 10112.

Решение. Според двоичната таблица за добавяне:

2.1. Намерете произведението на числата 1001012 и 1012.

Според таблицата за умножение и събиране на двоични числа:

Недостатъците на двоичната бройна система могат да се отдадат на тромавостта при писане на числа. Например числото 5671010 в двоичната система се записва като 10001101112. Освен това естествените възможности на човешкото мислене не ви позволяват бързо и точно да оцените стойността на число, представено, например чрез комбинация от 16 нули и нечий.

За да се улесни възприемането на двоично число, беше решено да се раздели на групи от цифри, например три или четири цифри. Тази идея се оказа много успешна, тъй като последователност от три бита има 8 комбинации, а последователност от 4 бита има 16. Числата 8 и 16 са степени на две, така че е лесно да се съчетаят с двоични числа. Развивайки тази идея, те стигнаха до заключението, че групи от цифри могат да бъдат кодирани чрез намаляване на дължината на символната последователност. Кодирането на три бита отнема осем цифри, така че взехме цифри от 0 до 7 в десетичната система. За кодиране на четири бита са необходими шестнадесет знака; за това те взеха 10 цифри от десетичната система и 6 букви от латинската азбука: A, B, C, D, E, F. Получените системи, които имат основи 8 и 16, бяха наречени съответно осмична и шестнадесетична.

Осмична бройна система

IN осмична (Осмичната) цифрова система използва осем основни цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основата на системата е 8. Когато пишете отрицателни числа, знакът минус се поставя пред поредица от цифри. Събирането, изваждането, умножението и делението на числата, представени в осмичната система, се извършват по същия начин, както се правят в десетичната система.

Записването на произволно число в тази система се основава на разширяването му в степен 8 с коефициенти, които са горните основни числа.

Например десетичната 180.510 в осмица ще се покаже като 264.48. Ако напишем това число като полином (1), тогава ще получим

Шестнадесетична бройна система

В шестнадесетичната бройна система базовите числа са от 0 до 9 и първите шест букви от латинската азбука A, B, C, D, E, F, съответстващи на числата 10, 11, 12, 13, 14, 15 Когато пишете отрицателни числа отляво на поредицата от числа, поставете знак минус.

Например десетичното число 289810 в шестнадесетичната система ще бъде записано като B52. Всъщност, като се има предвид, че B = 11:

Шестнадесетичната бройна система се използва широко при определяне на различни нюанси на цвета при кодиране на графична информация (т.нар. RGB модел).

ПРЕВОД НА НОМЕР ОТ ЕДНА СИСТЕМА ЗА НОМЕРИРАНЕ НА ДРУГА

При решаване на проблеми с компютър първоначалните данни обикновено се дават в десетичната бройна система; в същата система, като правило, е необходимо да се получат крайните резултати. Тъй като в съвременните компютри данните се кодират главно в двоични кодове, по-специално става необходимо да се преобразуват числата от десетична в двоична бройна система и обратно. Помислете за превода на числата от една бройна система в друга, като използвате примери.

3.1. Преобразуване на десетичен знак в двоично число 56710.

Има два начина за преобразуване на десетични числа в двоични.

1-ви начин. Определя се максималната мощност на две, така че 2 в тази мощност е по-малка или равна на първоначалното число. В нашия случай това е 9, защото 2 9 = 512 и 2 10 = 1024, което е повече от семето (1024> 567). По този начин се получава броят на битовете на резултата. Тя е равна на 9 + 1 = 10. Следователно резултатът ще бъде 1ххххххххх, където вместо x могат да се използват всякакви двоични цифри (0 или 1). Нека намерим втората цифра на резултата. Повдигнете 2 до степен 9 и извадете от първоначалното число: 567 - 2 9 = 55. Остатъкът е сравним с числото 2 8 = 256. Тъй като 256> 55, деветата цифра ще бъде нула, т.е. резултатът ще бъде 10ххххххххх. Помислете за осмата категория. Тъй като 2 7 = 128> 55, то също ще бъде нула. Седмата цифра също се оказва нула. Търсеното двоично означение на числото има формата 1000хххххх. 2 5 = 32 3, което означава равенство на мерната единица от петата цифра. Продължавайки по подобен начин, резултатът е 1000110111. Числото 56710 е разширено по степен на две:

567 = 1 * 2 9 + 0 * 2 8 + 0 * 2 7 + 0 * 2 6 + 1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

2-ри начин. Този метод за преобразуване на числа използва операцията за дълго деление. Разделяйки 567 на 2, получаваме коефициент 283 и остатък 1. Извършете същата операция с числото 283. Вземете коефициента 141, остатък 1. Отново разделете полученото коефициент на 2 и така, докато коефициентът стане по-малък от делител. Сега, за да получим число в двоичната система, е достатъчно да запишем последния коефициент, т.е. 1, и да му присвоим в обратен ред всички остатъци, получени в процеса на разделяне.

Резултатът е числото 1000110111, което съответства на числото, получено по 1-ви метод.

Дадените два метода са еквивалентни и са приложими при преобразуване на число от десетичната система в система с произволна основа.

3.2. Преобразувайте числото 68204310 в база 16.

Ще разделим последователно числото 68204310 в колона на 16. Процесът на разделяне приключва, когато коефициентът стане строго по-малък от 16.

като се вземе предвид замяната на числото 10 с A, числото 11 с B, получаваме резултата под формата на A683B.

3.3. Преобразувайте 4A3F в база 10.

За да запишем числото 4A3F в десетична нотация, използваме полинома (1).

Заменяйки A с 10 и F с 15, получаваме .

За да конвертирате цели числа от двоичната система в системи с радикс, равен на степен на две (8 = 2 3 и 16 = 2 4), трябва:

разделете това двоично число отдясно наляво на групи от n-цифри всяка (за осмичната система н= 3, за шестнадесетичен н= 4);

ако последната лява група съдържа по-малко н цифри, след което го допълнете с нули до необходимия брой цифри;

разглеждайте всяка група като н-битово двоично число и го заменете със съответната основна-2 цифра н .