Безкрайно минимални автоморфизми на почти симплектични структури Текстът на научната статия по специалността "Математика"

Посочена е максималната размерност на алгебрата на Лие на безкрайно малки автоморфизми на риманови и почти симплектични структури, възникващи естествено върху допирателния сноп на гладко многообразие, надарено с почти симплектична структура и линейна връзка, съответстваща на тази структура.

Текст на научната работа по темата "За безкрайно малки автоморфизми на почти симплектични структури"

НАУЧНИ БЕЛЕЖКИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ УНИВЕРСИТЕТ В КАЗАН

ЗА БЕЗКРАЙНИТЕ МАЛКИ АВТОМОРФИЗМИ НА ПОЧТИ СИМПТОМНИ СТРУКТУРИ

В. И. Панженски

Посочена е максималната размерност на алгебрата на Лие на безкрайно малки автоморфизми на риманови и почти симплектични структури, възникващи естествено върху допирателния сноп на гладко многообразие, надарено с почти симплектична структура и линейна връзка, съответстваща на тази структура.

Въведение. Върху допирателния пакет TM на гладко n-мерно многообразие M, надарено с почти симплектична структура w и линейна връзка V, съответстваща на тази структура, възниква риманова метрика O, която е ермитова по отношение на каноничната почти сложна структура 3 Основната 2-форма на почти ермитова структура (0,3) определя почти симплектична структура на TM. Чрез права линия, връзката V на основния колектор M генерира на TM напълно редуцируема връзка V, съвместима с O и P.

В тази статия е доказано, че пълното повдигане Xc на векторно поле X е основа M

на структура O или почти симплектична структура на TM тогава и само ако X е безкрайно малък автоморфизъм на почти симплектична структура w, която запазва връзката V. Размерът на алгебрата на Ли на такива автоморфизми не надвишава n (n + 3)/2. Най-общите запазващи слоя автоморфизми се определят от проектирани векторни полета. Доказано е, че размерът на алгебрата на Лие на безкрайно малки автоморфизми, запазващи влакна и връзката V me, надвишава 3n (n + 1)/2 за римановата структура O и n (n + 3) за

1. Нека w е недегенерирана 2-форма, която определя почти симплектична структура на n-мерно гладко многообразие M. Векторното поле X на M е безкрайно малък автоморфизъм на почти симплектична структура, ако производната на Lie на w по X изчезва: bxw = 0. В локалните координати тези уравнения имат следната форма:

£ k dk shts + shts dg £ k + sh

където w = wy ¿xg l ¿xz, wy = - wtsr, ¿wbtshy || = 0, X = £ kdk, dk = d/dxk; • • • =

= 1, стр. Ако структурата е симплектична: ¿ш = 0, тогава имаме

dk shu + dg shtsk + du shkg = 0. (2)

Всяко векторно поле X съответства на 1-форма a = 1x w. Ако X е безкрайно малък автоморфизъм на симплектична структура, тогава формата a = wy £ rb, x3

е затворено: ¿a = 0, което непосредствено следва от (1) и (2). Обратно, на негенерирана 1-форма a = a, ¿x1 съответства векторно поле X такова, че a = 1x w, т.е. X = u>% 3a, dz и от ¿a = 0 и ¿w = 0 то следва такова, че bxw = 0, тоест X е безкрайно малък автоморфизъм. Следователно алгебрата на Лие на всички безкрайни автоморфизми на симплектична структура като векторно пространство е изоморфна на векторното пространство на затворени 1-форми и следователно е безкрайно измерна [1].

2. Линейна връзка V е в съответствие с w, ако и yx w = 0 за всяко векторно поле X или в локални координати

dk-shr, gr - sh »rgk, = 0> (3)

където Гк са коефициентите на свързаност: Vdi d, = Г1 d ^. Колоездене (3) и добавяне, получаваме

+ Shrrr ^ p, + = dk + d ", + d, w ^ r, (4)

където = Гк - Гк са компонентите на торсионния тензор S (X, Y) = VxY - VYX - [X, Y] на връзката V. От (4) следва, че ако конструкцията е почти симплектична (¿ш =

Компонентите на всяка връзка, съвместима с почти симплектична структура, имат формата [2]

където Pi е произволна колекция от функции, симетрични по отношение на първите два индекса: n, =, Pr • Валидността на равенствата (3) се проверява директно чрез заместване (5) на (3).

3. Помислете за безкрайно малки автоморфизми на почти симплектична структура, които запазват линейната връзка, съответстваща на тази структура. Ще наречем такива автоморфизми абсолютни. За тях bxw = 0 и bx V = 0. Тогава освен уравнения (1) имаме и

£ pdrTk + dz £ pT ^ + q, £ p Tkr - dp £ k Tp. + q, £ k = 0. (6)

От уравнения (3) следва, че

dk = shr, rk + rk, • (7)

Освен това имаме

q £ k = V »£ k - £ T * • (8)

Замествайки (7) и (8) в (1), получаваме

(V £ k - £ p ^ рН, + (V, £ k - £ pBcr) w »k = 0. (9)

£ k = V, £ k - £ p Bkr, (10)

тогава уравненията (1) приемат формата

По същия начин, замествайки частични производни в уравнения (6) с ковариантни, получаваме

V »V, £ k - VI £ p H * - £ p + £ pK * = 0, (12)

K k = d ■ rk - d rk + rk Gya - gk Gya

където "k = rkj ^ x" са формите на свързване на V Лесно е да се провери дали връзката V е съвместима както с G, така и с П: VG = 0, VП = 0.

Векторно поле X = £ ^ "4 на TM е безкрайно малък автоморфизъм на риманова структура G (почти симплектична структура), ако LjG = 0 (LjfП = 0). В адаптираната основа (¿4), уравненията на безкрайно малките автоморфизми имат следната форма:

£ C (¿сGAB - GPBRCA - GAPRCB) + ¿A £ PGPB + ¿в £ PGAP = 0 (27)

£ C (¿csurf - PrvRCA - PAR ^ CB) + ¿4 £ PPrv + ¿в £ PPAR = 0 (28)

за П, където R4b са компонентите на нехолономния обект, включени в структурните уравнения: [¿4, ¿в] = RаВ¿с-

Нека Xc = £ i (x ^ + ykVk £ idn + i е по-пълно повдигане на векторното поле X = £ "(x ^ на базовия колектор M. Полето Xc наричаме естествен автоморфизъм на структурата G () върху TM ^ и LXcG = 0 (LXcn = 0) Записвайки уравнения (27) и (28) за различни поредици от индекси, може да се уверите, че LxcGab = 0 (LX с PaV = 0) тогава и само ако LX "j = 0 и LXГ- = 0. Следователно,

Теорема 2. За пълно повдигане X от векторно поле X да бъде почти

Това и предишната теорема предполагат

Теорема 3. Размерът на алгебрата на Лие на естествените автоморфизми на риманова структура O или почти симплектична структура на TM не надвишава n (n + 3)/2.

fpsma, запазвайки слоевете, се определят от проектирани векторни полета на TM [5]. Векторно поле X върху TM е проектируемо, ако bn] (е векторно поле върху M (n: TM ^ M е каноничната проекция на снопа). Такова поле в координатите има формата

XX = £ z (x) 6 z + £ n + z (x, y) dn + z. (29)

морфизми на римановата структура O и почти симплектичната структура P. Тогава имаме

за римановата структура,

за почти симплектична структура и

и за двете структури. Точно както при безкрайно малките автоморфизми на базовия многообразие, ние въвеждаме нови променливи

£ B = v в £ c - £ P вBBP. (33)

Уравненията (30) и (31) имат формата

където £ ab = £ a Opp в уравнения (34) и £ ab = £ a prv в уравнения (35). Уравнения (32) могат да бъдат представени във формата, разрешена за ковариантните производни на функциите £ В

V a £ b '= - £ P KA'BR, (36)

където K'vr са компонентите на тензора на кривината на връзката V. Ако условията на интегрируемост за уравнения (36) и уравнения

v в £ B = £ B + £ P $ bp (37)

държат идентично, тогава размерът на алгебрата на Лие на безкрайно малките автоморфизми е максимален и е равен на r = n2 + n - в, където в е броят на независимите

симплектична структура n. Тъй като векторното поле XX е проектируемо, лесно е да се провери дали £ ^ + 3 = 0 и b = n2 + n (n + 1)/2 за (34) и b = n2 + n (n - 1) - за уравнения (35) и следователно r = 3n (n + 1)/2 - за римановата структура O и r = n (n + 3) - за почти симплектичната структура

Теорема 4. Размерът на алгебрата на Лие на абсолютни инфинитезимални автоморфизми, които запазват влакната на допирателния сноп, не надвишава 3n (n + +1)/2 - за римановата структура Cn (n + 3) - за почти симплектичната структура П.

В.И. Панженски. Нефт безкрайно малки автоморфизми на почти симплектични структури.

На допирателния сноп TM на многообразие M, надарено с почти симплектична структура ш и линейна връзка V, съвместима с ш, разглеждаме римановата метрика G, която е ермитова по отношение на каноничната почти сложна структура J и съответната почти симплектична структура П Изследваме безкрайно малките автоморфизми на

естествените автоморфизми на G и на П е по-малко или равно на n (n + 3)/2.

1. Libermann P. Automorphismes infinitesimaux d'une structure symplectique // C. R. Acad. Sci. - 1956. - V. 242, No 9. - С. 1114-1117.

2. Левин Ю.И. За афините връзки, свързани с кососиметричен тензор // Dokl. AN SSSR. - 1959. - Т. 128, No 4. - С. 668-671.

3. Айзенхарт Л.П. Групи с непрекъсната трансформация. - М.: IL, 1947.

4. Шапуков В.Н. Линейни връзки на векторни снопове // Tr. geom. това - Казан: Издателство Казан, о-он, 1975. - Бр. 8. - С. 118-131.

5. Шапуков В.Н. Автоморфизми на влакнести пространства // Tr. geom. това - Казан: Издателство Казан, о-он, 1980. - Бр. 14. - С. 97-108.

Получено на 25 декември 2004 г.

Панженски Владимир Иванович - кандидат на физико-математическите науки, доцент в Катедрата по алгебра, Пензенски държавен педагогически университет.