Аксиома на избора и парадокси на наивната теория на множествата

Ако беше възможно да се докаже хипотезата за континуума, то континуумът, непрекъснато беше, като че ли, идентифициран с някакъв добре подреден комплект, би бил, така да се каже, подредени с точки.

Два добре подредени комплекта винаги могат да бъдат сравнени помежду си: картографирайте един към част от другия. Това предполага съпоставимост на редиците, съответстващи на тези множества. И от последното - съпоставимостта на кардиналите, съответстващи на ординалите, т.е. кардиналности. Това означава, че всякакви правомощия - а оттам и силата на континуума, и алефи - са сравними, ако съответните набори могат да бъдат напълно подредени.

Но как да направите това за конкретни набори не е ясно. Вече беше отбелязано, че едномерният континуум, например интервалът от реални числа (0; 1), взет в естествения им ред по големина, не е напълно подреден набор. Множеството рационални числа Q в естествения си порядък по величина също не е добре подредено множество. Но може да се поръча, защото Q е броене набор, т.е. може да се постави в индивидуална кореспонденция с N. По същия начин всеки преброим комплект може да бъде напълно подреден. Но Кантор показа, че континуумът е неизброимо множество.

През 1904 г. Е. Чермело доказа теоремата, че всяко множество може да бъде напълно подредено. Доказателството се основаваше на безобидната идея, че в безкраен набор от множества е възможно да се извърши процедурата за избор на един елемент във всеки от тези множества. Тя получи името аксиоми по избор (или аксиомите на Цермело) и се превърна в една от седемте аксиоми на теорията на множествата, също предложена от Цермело и Фраенкел през 1908 г.

По този начин Zermelo и Fraenkel поставят наивна теория на множествата на аксиоматична основа. Необходимостта от въвеждане на аксиоми е свързана с противоречията на теорията на множествата, измислена специално, за да се открият противоречия в нея. Всички те са конструирани по следната схема: да предположим, че има някакъв обект X. Тогава този обект X едновременно притежава и не притежава някакво свойство. Но точно това означава, че необходимият обект X не съществува. Ето как работи доказателството чрез противоречие.

Парадоксът на Ръсел.Всички фактори факторизираме по този начин: „нерефлектиращи“, тоест тези, които не се съдържат като свой елемент (много крокодили не са крокодил), и „рефлексивни“, съдържащи себе си като свой елемент (много завои). Помислете за множеството от всички нерефлексивни множества. Ако е нерефлективен, тоест не се съдържа като свой елемент, тогава трябва да бъде включен в множеството чрез дефиницията на множеството, тоест рефлексивен е и не влиза в него. Ако е рефлексивен, тоест съдържа себе си като свой елемент и по този начин не е включен в множеството, той е включен в множеството чрез дефиницията на рефлексивен набор. Парадоксът на Ръсел може да бъде формулиран, без да се използва теория на множествата. Ето класическите формулировки.

Брадобрай. Началникът заповядал единственият бръснар в селото да обръсне онези и само онези мъже, които не се бръснат. Трябва ли да се обръсне?

Каталог. Библиотеката реши да състави библиографски каталог, който включва тези и само тези каталози, които не включват себе си. Включва ли такава директория себе си?

Ясно е, че множествата не могат да бъдат дефинирани чрез произволни комбинации от думи, тоест не всяко свойство трябва да дефинира набор. Това включва и понятието "множеството от всички комплекти".

Парадокс на Кантор.Помислете за множеството от всички възможни множества. Трябва да има максимална мощност. Но тогава, според голямата теорема на Кантор за алефама, множеството от всички подмножества на дадено множество има още по-голяма мощност.

Оттукпърви начин борба с парадоксите - метод на Кантор, при който всички действия и операции, водещи до парадокси, са забранени. Позволено е да се работи с множества, които „се срещат в природата“ или са получени от тях чрез „разумни“ теоретични операции за множествата. Втори начин - аксиоматична (система на аксиомите на Zermelo - Fraenkel, система на аксиомите на Gödel - Bernays).

Оказа се обаче, че с помощта на избраната аксиома такива екстравагантни примери като множеството на Витали, неизмерими според Лебег или парадокса на Банах-Тарски: можете да разделите топката на краен брой части, които могат да бъдат пренаредени така че получавате две топки със същия размер като оригиналната една топка. Тоест последиците от аксиомата на избора напълно противоречат на нашата интуиция за пространството.

Но аксиомата на Зермело се използва при доказването на много теореми както в теорията на множествата, така и в анализа. Например:

- обединението на преброим брой от най-много преброими множества само по себе си е преброимо;

- всеки безкраен набор съдържа преброимо подмножество;

- теорема за непрекъсната функция, приемаща стойности на противоположни знаци в краищата на интервала;

- лема на Болцано - Вайерщрас върху конвергентна подпоследователност на ограничена последователност;

- Теорема на Коши за крайни стъпки;

- Теоремата на L'Hôpital за разкриването на несигурности и много други вече изискват използването на избраната аксиома.

Gödel (1939) и Cohen (1963) установяват, че избраната аксиома не може да бъде нито доказана, нито опровергана въз основа на системата от аксиоми на Zermelo Fraenkel или друга система от аксиоми на теорията на множествата. Освен това, ако теорията на множествата е съгласувана без аксиомата на избора, тогава тя остава последователна, след като към нея е прикрепена аксиомата на избора. Така се е развила ситуация, която прилича на ситуацията с петия постулат на Евклид в геометрията.

КУЛТУРЕН МИНИМУМ.

  1. Какво е комплект? Набори за настройка. Експлоатационни свойства.
  2. Какво представлява връзката? Бинарни отношения. Общи свойства на отношенията.
  3. Съотношение на еквивалентност и неговите свойства.
  4. Строга връзка на реда и неговите свойства.
  5. Отношение на свободен ред и неговите свойства.
  6. Какво е картографиране? Видове картографиране: сюржекция, инжекция, биекция, хомоморфизъм, хомеоморфизъм.
  7. Какво е линеен и пълен ред?
  8. Еквивалентност на множества. Крайни, преброими, неизброими множества.
  9. Кризи в математиката.
  10. Проблем за континуума, хипотеза за континуум и аксиома на избора.
  11. Парадоксите на Ръсел и Кантор.

ВЪПРОСИ.

1. Теореми за преброими множества: за подмножества, за минималност, за идемпотентност.

2. Теорема на Кантор за континуума (и двете доказателства).

3. Голямата алефова теорема на Кантор.

4. Теорема за еквивалентността на Бернщайн.

5. Покажете, че множеството от всички реални функции, непрекъснати и не, има мощност по-голяма от .

6. Метод на трансфинитна индукция.

ЗАДАЧИ.

  1. Задайте биекция между отсечка от права и цялата числова ос.
  2. Докажете, че множеството от всички последователности от нули и единици е равно на множеството от всички подмножества на естествения ред.
  3. Докажете, че множеството безкрайни последователности от цифри 0, 1, 2, 3 е равно на множеството безкрайни последователности от цифри 0 и 1, тоест има мощността на континуума.
  4. Докажете, че множеството от безкрайни последователности от числа
    0,1,2 е равно на множеството безкрайни последователности от цифри 0 и 1, тоест има мощност на континуума.
  5. Намерете мощността на множеството точки от единичния куб.
  6. Намерете мощността на множеството точки от всички числа на отсечката [0,1], при разлагането на които в тройна дроб няма цифра 1.
  7. Определете мощността на множеството от всички сфери на пространството с рационални радиуси и центрове с рационални координати.
  8. Задайте мощността на всички крайни подмножества на броячен набор.
  9. Каква е мощността на множеството от двойно не пресечени сегменти на права?
  10. Намерете мощността на множеството от всички триъгълници в равнината, с рационални координати на върховете.
  11. Намерете мощността на множеството точки от единичния квадрат.
  12. Установете биекция между множеството от всички последователности и множеството от всички нарастващи последователности от естествени числа.
  13. Намерете мощността на множеството от всички стационарни последователности от реални числа.
  14. Докажете, че множеството от всички безкрайни последователности от 0,1,2, в които 0 и 1 се срещат краен брой пъти е преброено.
  15. Докажете, че множеството точки от равнината, лежащи на графиката на която и да е функция, дадена на отсечката [0,1], има мощността на континуума.
  16. Дали отношенията на еквивалентност са: „да си запознат“, „да бъдеш множествен“?
  17. Колко множества от фактори съдържа набор, състоящ се от два, три, четири елемента?