Условия на Коши - Риман

Условия на Коши - Риман, също наричан д’Аламбер - условия на Ойлер Дали връзките свързват реалните u = u (x, y) и въображаемите v = v (x, y) части на която и да е диференцируема функция на сложна променлива w = f (z) = u + iv, \ z = x + iy .

Съдържание

Формулиране

Декартови координати

За да може функцията w = f (z), дефинирана в някаква област D на комплексната равнина, да бъде диференцируема в точката z_0 = x_0 + iy_0 като функция на комплексната променлива z, е необходимо и достатъчно, че нейната реална и въображаема части u и v да бъдат диференцируеми в точка (x_0, y_0) като функция от реални променливи x и y и така, че освен това условията на Коши - Риман са изпълнени в този момент:

Ако са изпълнени условията на Коши - Риман, производното f '(z) може да бъде представено във всяка от следните форми:

Доказателства

1. Необходимост

Според хипотезата на теоремата има ограничение

независимо от начина, по който \ Delta z клони към нула. Поставете \ Delta z = \ Delta x и разгледайте израза

Съществуването на границата на сложен израз предполага съществуването на неговите реални и въображаеми части. К: Уикипедия: Статии без източници (тип: не е посочен) [източник не е посочен 1860 дни] Следователно в точката x_0, y_0 има частични производни по отношение на x на функциите u (x, y) и v (x, y) и има следната формула:

f '(z_0) = u_x (x_0, y_0) + iv_x (x_0, y_0)

Задаваме \ Delta z = i \ Delta y, намираме

Сравнявайки последните две формули, ние сме убедени в валидността на условията на Коши-Риман.

2. Достатъчност

Чрез дефиницията на диференцируемост, нарастванията на функциите u (x, y) и v (x, y) в съседство на точката (x_0, y_0) могат да бъдат записани във формата

u (x_0 + \ Delta x, y_0 + \ Delta y) -u (x_0, y_0) = u_x (x_0, y_0) \ Delta x + u_y (x_0, y_0) \ Delta y + \ xi (x, y), v (x_0 + \ Delta x, y_0 + \ Delta y) -v (x_0, y_0) = v_x (x_0, y_0) \ Delta x + v_y (x_0, y_0) \ Delta y + \ eta (x, y),

където функциите \ xi (x, y) и \ eta (x, y) са склонни към нула при x \ rightarrow x_0, y \ rightarrow y_0 по-бързо от \ Delta x и \ Delta y \ qquad \ ляво (\ lim \ limit_ \ frac = 0 \ дясно., \ Lim \ Limits_ \ frac = 0, \ ляво. | \ Delta z | = \ sqrt \ дясно). Нека сега съставим съотношението на разликата \ frac, където \ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y и го преобразуваме във формата

Имайте предвид, че \ Delta z има тенденция към нула, последният член на тази формула има тенденция към нула, а първият остава непроменен. Следователно има ограничение \ lim \ limite_ \ frac = f '(z_0), което доказва диференцируемостта на функцията f (z) в точката z_0 .

В полярни координати

В полярната координатна система (r, \ varphi) условията на Коши-Риман изглеждат така:

Представяме оригиналната функция като

f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) .

Изразяване на декартови координати от гледна точка на полярна

\ наляво \ < \beginx = r\cos\alpha;\\ y = r\sin\alpha . \end \right.


Нека запишем производната на функцията u (x, y)

идентично производната на функцията v (x, y)

Пренаредете и умножете

Моля, имайте предвид, че използването на условията на Коши - Риман в декартови координати,
получаваме равенството на съответните изрази, което води до резултата

Връзка между модула и аргумента на диференцируема сложна функция

Често е удобно да се пише сложна функция в експоненциална форма:

Тогава условията на Коши-Риман свързват модула R и аргумента \ Phi на функцията, както следва:

Геометричното значение на условията на Коши-Риман

Нека функцията w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y), \ z = x + iy да бъде диференцируема. Да разгледаме в комплексната равнина (x, y) две семейства криви (линии на ниво).

Първо семейство: u (x, y) = const. Второ семейство: v (x, y) = const.

Тогава условията на Коши-Риман означават, че кривите на първото семейство са ортогонални на кривите на второто семейство.

Алгебрично значение на условията на Коши-Риман

Ако разгледаме множеството от комплексни числа \ mathbb като векторно пространство над \ mathbb, тогава стойността на производната на функцията f \ colon \ mathbb \ to \ mathbb в дадена точка е линейно картографиране от двумерното векторно пространство \ mathbb за себе си (\ mathbb -линейност). Ако разгледаме \ mathbb като едномерно векторно пространство над \ mathbb, тогава производната в точка ще бъде и линейно картографиране на едномерното векторно пространство \ mathbb в себе си (\ mathbb -линейност), което в координати е умножение по комплексно число f '(z). Очевидно е, че всяка \ mathbb -линейна карта е \ mathbb -линейна. Тъй като полето (едномерно векторно пространство) \ mathbb е изоморфно на полето на реалните матрици от формата \ begin a & b \\ - b & a \ end с обикновени матрични операции, условията на Коши-Риман, наложени на елементите на якобианската матрица на картографирането f в точката z (по-точно картите \ tilde: (x, y) \ mapsto (u (x, y), v (x, y)) в точката (x, y )) са условията за \ mathbb -линейността на f '(z), т.е. \ тилда '(x, y) .

Тези условия се появяват за първи път в работата на д’Аламбер (1752). В работата на Ойлер, докладвана на Петербургската академия на науките през 1777 г., условията получиха за първи път характера на общ критерий за аналитичност на функциите.

Коши използва тези отношения, за да изгради теорията на функциите, започвайки с мемоари, представени на Парижката академия на науките през 1814 г. Известната дисертация на Риман за основите на теорията на функциите датира от 1851 година.

Напишете отзив за статията "Условия на Коши - Риман"

Литература

  • Евграфов М. А. Аналитични функции. - 2-ро издание, Rev. и добавете. - Москва: Наука, 1968. - 472 с.
  • И. Привалов. Въведение в теорията на функциите на сложна променлива: Наръчник за висше образование. - М.-Л.: Държавно издателство, 1927 г. - 316 с.
  • Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория на функциите на комплексна променлива. - М.: Наука, 1974 г. - 320 с.
  • Тичмарш Е. Теория на функциите: Per. от английски - 2-ро издание, Rev. - М.: Наука, 1980. - 464 с.
  • Б. Шабат. Въведение в комплексния анализ. - Москва: Наука, 1969. - 577 с.
  • Cartan A. Диференциално смятане. Диференциални форми. - М.: Мир, 1971. - 392 с.

: неправилно или липсващо изображение

  • Предоставете бележки под линия, за да предоставите по-точни източници.

Откъс, характеризиращ условията на Коши - Риман

„Ще дойда на едно място, ще се моля; Нямам време да свикна, да се влюбя - ще отида по-нататък. И ще вървя, докато краката ми отстъпят, и ще легна и ще умра някъде и най-накрая ще стигна до онзи вечен, тих кей, където няма нито тъга, нито въздишка! ... “, помисли си принцеса Мария.
Но след това, като видяла баща си и особено малкия Коко, тя отслабнала в намерението си, бавно заплакала и почувствала, че е грешница: обичала баща си и племенника си повече от Бога.