Структурата на теоремите. Видове теореми. Методология за изучаване на теореми в училищен курс по математика.

В математиката се извиква всяко твърдение, чиято валидност се установява чрез разсъждения теорема. Във всяка теорема могат да бъдат разграничени обяснителна част, условие и заключение. така, структурата на теоремата представляват както следва: PI "ако A, тогава B", където P означава обяснителната част, A е условието, а B е заключението на теоремата.

Видове теореми:

1) От A следва B. (a => b) -директно одобрение.

2) От B следва А. (b => a) - обратното твърдение .

3) От не А следва не Б. () противоположно твърдение.

4) Не B означава не A. () контраположително твърдение.

Ако импликацията P => Q е теорема, тогава: условие P се нарича достатъчно условие за условие Q, а условие Q е необходимо условие за условие P.

Ако теоремите са импликациите P => Q и Q => P, тогава всяко от условията е необходимо и достатъчно за другото.

Етапи на работа с теорема в училище

Професионален - извършване на логически и математически анализ, избор на методи на работа, подбор на съдържание;

Подготвителен - актуализиране на необходимите знания на учениците, мотивиране на необходимостта от изучаване на даден факт;

Въвеждане на формулировката на теоремата и прилагането на нейното доказателство - първичното усвояване на факта и неговото доказване от учениците;

Приложение на теоремата като аргумент при извеждането на последици.

Етапи на изучаване на теоремата от студентите

Запознаване с факта, отразен в теоремата,

Усвояване на съдържанието на теоремата, нейната структура.

Запознаване с метода на доказване,

Установяване на връзка с други теореми

Методи за въвеждане на теорема

Системата от задачи за усвояване на теоремата и нейното доказване

Да разкрие необходимостта от познаване на математическия факт, формулиран в теоремата;

Относно актуализирането на фактите, използвани в доказателствата и методите за доказване, подобни на тези, използвани за тази теорема;

Относно осъзнаването на факта, формулиран в теоремата;

Относно усвояването на формулировката;

Усвояване на отделни етапи на доказване;

За да повторите хода на доказването (например в други чертежи);

Да се намери друг начин за доказване;

Относно прилагането на теоремата за получаване на нови математически факти (последици);

Относно приложението на теоремата за решаване на други проблеми на изчисленията, конструирането и доказателството.

Структура на формулировката: състояние, заключение, обяснителна част.

Логическа структура на условието и заключението: конюнктив, дизюнктив.

Примери за

1. Теорема "Ако диагоналите на успоредник са взаимно перпендикулярни или разделят ъглите му наполовина, то този успоредник е ромб" има структурата A V B => C, където A е "диагоналите на успоредника са взаимно перпендикулярни"; B - "(диагоналите на успоредник) разделят ъглите му наполовина"; C - "този успоредник е ромб".

2. Теоремата за средната линия на трапец има структурата: A => B & C, където A - "четириъгълник - трапец"; Б - "средната му линия е успоредна на основите"; C - "(средната му линия) е равна на половината от сумата на основите".

Често при формулирането на теореми се използва изразът „необходимо и достатъчно“ (ЗНАК). По логика този израз съответства на еквивалент, който, както знаете, може да бъде представен като съвкупност от две последици. Едно от тези последици изразява теорема, доказваща НЕОБХОДИМОСТТА на характеристиката, а другата изразява теорема, доказваща ДОСТАТЪЧНОСТТА на характеристиката. Например, знак за перпендикулярност на две равнини:

„За да бъдат две равнини перпендикулярни, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТЪЧНО е една от тях да премине през права линия, перпендикулярна на другата“, може да се формулира по следния начин: „Две равнини са перпендикулярни АКО И САМО, ако една от тях премине през права линия, перпендикулярна на друга ":