Пространствено-времева метрика

метриката пространство-време

По правило се обозначава със символа g i j> .

g ^ = (1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1)> = \ ляво (1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end> ​​\ вдясно)> .

В неинерциалните референтни рамки формата на метриката пространство-време се променя и обикновено зависи от точка в пространството и момент във времето.

Метриката пространство-време задава кривината на пространството, което се усеща от наблюдател, който се движи с ускорение. Тъй като въз основа на принципа на еквивалентност наблюдателят по никакъв начин не може да различи неинерцията на свързаната с него референтна рамка от гравитационното поле, метриката пространство-време определя и кривината на пространството в полето на масивни тела.

Интервалът пространство-време се изразява чрез метриката пространство-време чрез формулата

d s 2 = g i j d x i d x j = g_dx ^dx ^> .

Тъй като метриката определя трансформации на координати, тя се нарича още метричен тензор.

Пространствено-времевата метрика се използва за установяване на връзка между ковариантни и контравариантни записи на всеки 4-вектор

A i = g i j A j = g_A ^> .

Съдържание

Метричният тензор е симетричен по отношение на своите индекси, т.е. g i j = g j i = g_>. Това може да се види от общата формула за квадрата на диференциала на пространствено-времевия интервал. Определителят на метриката пространство-време, който се обозначава с g, е отрицателен.

Контравариантната форма на метричния тензор е свързана с ковариантната форма, използвайки напълно антисиметричен тензор от четвърти ред

Метричен тензор, като всеки симетричен тензор, може да бъде намален до диагонална форма, като се избере референтна рамка. Тази операция обаче е валидна само за определен момент от пространство-времето и в общия случай не може да бъде извършена за цялото пространство-време.

Квадратът на диференциала на пространствено-времевия интервал за една космическа точка е

Наречен собствено време за дадена точка в пространството.

Квадратът на разстоянието между две безкрайно близки точки се дава от формулата

Гръцки индекси се използват, когато сумирането е само по пространствени координати. Тензорът γ α β> е метричният тензор за тримерно пространство.

Невъзможно е да се интегрира разстоянието, определено по този начин, тъй като резултатът ще зависи от световната линия, по която ще се извърши интеграцията. По този начин в общата теория на относителността понятието за разстояние между отдалечени обекти в триизмерното пространство губи значението си. Единственото изключение е ситуацията, при която метричният тензор g i j> не зависи от времето.