Перфектни числа

Това е първата ни творческа работа, в която заехме достойно 2-ро място.

Х градска научно-практическа конференция на учениците "Първи стъпки в науката"

Автонеев Юрий Александрович

ж. Толиати, MBU средно училище номер 59, клас 6

Колова Елена Валериевна,

учител по математика, средно училище номер 59 на MBU

Основната цел на работата: изследване на перфектни числа и тяхната история.

Тази тема е интересна с това, че все още не е напълно проучена от учените. При работа по тази тема бяха зададени следните задачи:

1) разберете какво са перфектните числа и как да ги намерите;

2) разберете каква формула съществува и покажете как да я прилагате;

3) разберете кой е открил първите съвършени числа.

Основните методи за решаване на възложените задачи: методът за наблюдение на числата; метод за подбор и вземане на проби; четене на допълнителна литература; метод за обобщение.

Част 1. Основни понятия, използвани в работата

  1. Идеална цифрова концепция

Перфектното число е естествено число, равно на сумата на всички негови собствени делители (т.е. всички положителни делители, различни от самото число). С увеличаването на естествените числа перфектните числа стават все по-рядко срещани.

  1. Евклидова формула

Алгоритъмът за конструиране на дори перфектни числа е описан в IX книга на Принципите на Евклид, където е доказано, че числото P = (- 1) е перфектно, ако числото q = - 1 е просто число на Мерсен. Впоследствие Леонард Ойлер доказа, че всички дори перфектни числа имат формата, посочена от Евклид.

Част 2. Изложение и решение на проблеми

2.1. Доказателство за теоремата на Евклид.

Нека числото 2 n-1 (2 n -1) има прост фактор в скоби. Тогава делителите на това число, различни от самото число, ще бъдат

1, 2, 4,. ... ..., 2 n-1, (2 n -1), 2 (2 n -1), 4 (2 n -1),. ... ..., 2 n-2, (2 n -1).

Нека вземем сумата на всички тези делители:

(1 + 2 + 4 + 8+. + 2 n-1) + (1 + 2 + 4 + 8+. + 2 n-2) (2 n -1) = (2 n -1) + (2 n -1 -1) (2 n -1) = = 2 n-1 (2 n -1).

Следователно числото 2 n-1 (2 n -1) е перфектно.

Числата от поредицата 2 n - 1 се наричат ​​числа на Мерсен след френския математик от 17 век, който ги е изучавал. На фигура 1 се попълват клетките, в които след изваждане на 1 се получават числата на Мерсен. На дъската има 9 такива клетки - те съответстват на първите девет перфектни числа.

2.2. Свойства на перфектни числа

Перфектните числа притежават множество загадъчни и в същото време забележителни свойства. Например, всички перфектни числа са „триъгълни“. Това означава, че ако вземем, да речем, топки в количество, равно на перфектното число, тогава те могат да бъдат подредени така, че да образуват равностранен триъгълник.

И тук има още едно свойство на перфектните числа: сумата от реципрочните стойности на делителите на перфектно число, включително самото число като делител, винаги е 2. Така че, за числото 28 имаме

До днес два важни въпроса остават без отговор: има ли нечетно перфектно число и има ли най-голямото дори перфектно число? Досега не е открито нито едно нечетно перфектно число, но в същото време не е доказано, че такова число не съществува. Отговорът на втория въпрос зависи от това дали поредицата от прости числа на Mersenne е безкрайна, тъй като всяко просто число от тази поредица води до перфектно число. Беше забелязано, че заместването на първите четири числа на Mersenne (3, 7, 31, 127) вместо n във формулата 2 n - 1 отново води до числата на Mersenne. Повече от 70 години математиците се надяват, че такъв модел трябва да доведе до заключението, че поредицата от прости числа на Mersenne е безкрайна. През 1953 г. обаче изчислителна машина разбива надеждите им. Установено е, че в случая n = 2 13 - 1 = 8191 (Mersenne prime) числото 2 8191 ‒1 не е лесно. Така че все още не е известно дали серията Mersenne е безкрайна или съдържа най-голям брой.

Ore в „Теория на числата и нейната история“ цитира забавно изказване на Питър Барлоу от книгата му „Теория на числата“ от 1811 г. Барлоу, изчислявайки деветото перфектно число, каза, че "това е най-голямото число, което някога ще бъде намерено, тъй като перфектните числа са не само любопитни и едва ли ще му хрумне някой да се опита да намери по-голямо перфектно число." 2 127 - 1 е най-голямото число на Мерсен, намерено без помощта на компютър. Таблица 1 показва изрази съгласно евклидовата формула за 23 известни перфектни числа, първите осем от тях са изписани (други числа съдържат твърде много цифри) и е посочен броят на десетичните знаци за всяко от тези числа. Последното известно перфектно число, което има 22 425 делители, е родено през 1963 г., след като 23-то число на Mersenne е открито от компютър в Университета на Илинойс.

137 438 691 328

2 305 843 008 139 952 128

В началото на 20-ти век бяха открити още три съвършени числа (за n = 89, 107 и 127). Впоследствие търсенето е спряло до средата на 20-ти век, когато с появата на компютрите са станали възможни изчисления, надминали човешките възможности.

Горната работа ми позволи да направя следните изводи:

  1. Всички перфектни числа, които се намират в момента, са четни.
  2. Всички перфектни числа са „триъгълни“.
  3. Все още не е известно дали серията Mersenne е безкрайна или съдържа най-голям брой.

1. Берман Г.Н. Брой и наука за това. Публични есета по аритметиката на естествените числа - 2-ро изд. - М .: Редакционен URSS, 2007. - 176 с.

2. В Арпаховски А.С. Тайните на перфектните и приятелски числа // Quantum, 1973.- №10. S. 71-74.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика: Наръчник за ученици 5-6 клас. Сряда шк. –М.: Образование, 1989. С.89-90 .

4. Депман И.Я. Перфектни числа // Quantum, 1971. №8. S. 1-6.

5. Жуков А. Връзки на приятелството в света на числата // Квант, 1996. No 6. С. 32-33.

6. Руда О. Покана за теория на числата: Per. от инж. Л.А. Савина и А.П. Савина. –М.: Наука. Гл. изд. f.-m. литература, 1980. (B-chka "Quant". Issue 3).
Pp.42-44.