Основа, Виртуална лаборатория Wiki, FANDOM, задвижвана от Wikia

Основа - набор от вектори в линейно пространство, така че всеки вектор от пространството може да бъде уникално представен като тяхната линейна комбинация.

Има два основни типа дефиниции: Хамелова основа, и Основа на Шаудер. Базата на Хамел се използва главно в абстрактната алгебра (по-специално в линейната алгебра). Във функционалния анализ, по-специално за едно Хилбертово пространство, база обикновено се разбира като основа на Шаудер, концепция, базирана на разширение на сериите. В случая, когато пространството има крайна основа (т.е. пространството е с краен размер), и двете разновидности съвпадат.

Съдържание

Hamel Basis Edit

Хамелова основа (англ. Хамелова основа ) Е набор от вектори в линейно пространство, така че всеки вектор от пространството може да бъде представен под формата на някои от техните крайни линейни комбинации (пълнота базис), докато никой от базисните вектори не може да бъде представен като крайна линейна комбинация от останалите (линейна независимост).

Редактиране на свойства

  • Във всяко линейно пространство има основа (доказателството на тази теорема обикновено е неконструктивно и използва избраната аксиома).
  • Базите са линейно независими системи от вектори, които са максимално включени, и само те.
  • Основите са цялостните системи от вектори, които са минимални по отношение на включването, и само те.
  • Единствената тривиална (равна на нула) линейна комбинация от базисни вектори е възможна само за тривиален набор от коефициенти.
  • За всеки вектор има уникално представяне под формата на крайна линейна комбинация от базисни вектори.
  • Мощността на база не зависи от избора на вектори на бази и се извиква измерение на пространството (обозначено с $ \ dim V $).

Свързани определения Редактиране

  • Извиква се линейно пространство краен размер, ако има крайна основа, и безкраен, ако няма крайна основа.
  • Извиква се представянето на вектор под формата на (крайна) линейна комбинация от базисни вектори разширяване на вектор в дадена основа Хамел.

Примери Редактиране

  • Векторите $ e_1, e_2, \ dots, e_n $ от пространството $ \ R ^ n $ образуват основа тогава и само ако детерминантата на матрицата, съставена от тези вектори, не е 0: $ \ det \ \ neq 0 $ .
  • В пространството на всички полиноми над полето една от основите се състои от степенни функции: $ 1, x, x ^ 2, \ dots, x ^ n, \ dots $ .
  • Понятието основа се използва в случая с безкрайно измерение, например реалните числа образуват линейно пространство над рационални числа и има непрекъсната основа, основа на Хамел и съответно непрекъснато измерение.

Schauder Basis Edit

Извиква се система от вектори $ \ $ на топологично векторно пространство $ L $ Основа на Шаудер (англ. Shauder основа ) ако всеки елемент от $ f \ в L $ се разложи на само, поредица в $ \ $ сближаваща се до $ f $:

където $ f_i $ са числа, наречени коефициенти на разширение на вектора $ f $ в основата $ \ $ .

За да се подчертае разликата между дефиницията на основа на Хамел за общи линейни пространства (разрешени са само крайни суми) и база на Шаудер за топологични векторни пространства (разрешено е разширяване в конвергентна редица), терминът често се използва за първата линейна основа, напускане на срока основа за серийни разширения. Нарича се и мощността на линейна основа линейно измерение. В крайноизмерните пространства тези определения съвпадат поради крайността на основата. В безкрайно-пространствени пространства тези дефиниции се различават значително и линейното измерение може да бъде строго по-голямо от мощността на основата на Шаудер.

Например, нито едно безкрайно измерно пространство на Хилберт няма преброима линейна основа, въпреки че може да има преброими бази на Шаудер със серийно разширение, включително ортонормални бази. Всички ортонормални бази на хилбертови пространства са бази на Шаудер, например наборът от функции $ \ $ е основа на Шаудер в пространството $ L ^ 2 [0,1] $. В по-общи банахови пространства концепцията за ортонормална основа е неприложима, но често е възможно да се конструират бази на Шаудер, които не използват ортогоналността.

Пример: Schauder основа за пространството на непрекъснати функции $ C [a, b] $ Редактиране

$ C [a, b] $ е банахово пространство с норма $ \ | f \ | = \ max_ | f (x) | $. За разширения в редици на Фурие и обобщени редове на Фурие в ортонормални системи от функции, конвергенцията в Хилбертовото пространство $ L ^ 2 [a, b] $ лесно се доказва, но не и в $ C [a, b] $. Шаудер конструира основа на Шаудер $ \ $ за $ C [a, b] $. Нека $ \ $ е плътен преброим набор от точки на $ [a, b] $, $ x_0 = a $, $ x_1 = b $, останалите точки могат да бъдат, например, всички рационални точки на сегмента $ [a, b] $, подредени по произволен начин. Поставяме: $ e_0 = 1 $, $ e_1 = (x-a)/(b-a) $ е линейна функция. Нека дефинираме линейна функция на парчета $ e_n (x) $, така че $ e_n (x_i) = 0 $ за $ i = 0,1, \ dots, n-1 $ и $ e_n (x_n) = 1 $. Точки $ x_0, x_1, x_2, \ dots, x_ $ разделят $ [a, b] $ на $ n-1 $ сегмент. Точка $ x_n $ се намира строго в един от тях. Нека бъде $ I_n = [x_j, x_k] $ за някои $ j, k \ in \ $ (редът на номериране на числата $ x_0, x_1, x_2, \ dots $ не съответства на тяхната стойност).

$ e_n (x) = 0 $ извън сегмента $ I_n = [x_j, x_k], $ $ e_n (x) = \ frac $ за $ x \ in [x_j, x_n], $ $ e_n (x) = \ frac $ за $ x \ в [x_n, x_k]. $

Получената система от частично-линейни "капачки" е необходимата основа на Шаудер. Коефициентите на разширение на произволна функция $ f (x) \ в C [a, b] $ в тази база се изразяват чрез явни рекурсивни формули чрез последователност от стойности $ f (x_i) $. Частична сума на първите $ n + 1 $ членове от поредицата

е в този случай частично линейно приближение $ f (x) $ с възли в точки $ x_0, x_1, x_2, \ dots, x_ $; формула за коефициентите $ f_n = f (x_n) -L_ (x_n); \; \; f_0 = f (a) $ (виж фиг.)

Редактиране на проблема с основата

Основите на Шаудер са конструирани за повечето от известните примери за банахови пространства, но проблемът Банах - Шаудер за съществуването на основа на Шаудер във всяко отделно банахово пространство не се поддава на решение повече от 50 години и е решен отрицателно едва през 1972: има отделими Banach пространства без основа на Шаудер (Enflo контрапримери, Шанковски, Дейви и Фигел).

Вижте също Редактиране

  • Бенчмарк е близка концепция за афинитетно пространство.
  • Ортогонална основа - специален клас бази (основи на Шаудер) за пространства със скаларен продукт (Хилбертово пространство).
  • Основа на Грьобнер

Редакция на литературата

  • Кутателадзе С. С., Основи на функционалния анализ. - 4-то издание, Rev. - Новосибирск: Издателство на Института по математика СО РАН, 2001. - XII + 354 с.