Форум по математика Планета за помощ по математика

Дискусии и решаване на проблеми по математика, физика, химия, икономика

Часова зона: UTC + 3 часа [лятно часово време]

Ограниченост на линейния функционал

Имахме следната дефиниция на ограничен функционал: линеен функционал, действащ от нормирано линейно пространство [math] L [/ math] до [math] \ mathbb [/ math] се нарича ограничен, ако
0 \, \ colon \ forall x \ inL \ left | f (x) \ вдясно | \ leqslant C \ вляво \ | x \ right \ | "> [math] \ съществува C> 0 \, \ colon \ forall x \ inL \ left | f (x) \ right | \ leqslant C \ left \ | x \ right \ | [/ math]

Как да решим по дефиниция, т.е. Нямам идея как да избера константата C. Може би можете да ми кажете нещо?
Благодаря предварително.

P.S.
Или да се опитате да докажете приемственост? Тъй като непрекъснатостта и ограничеността са еквивалентни за линеен функционал, тогава.

Но как?
Например първото число:
Нека поправим 0 "> [math] \ varepsilon> 0 [/ math]. И изберете две произволни функции [math] x_1, x_2 \ в C _ [/ math] .
Тогава
[math] \ begin \ left | f (x_1) - f (x_2) \ вдясно | = \ ляво | f (x_1 - x_2) \ вдясно | & = \ ляво | \ int \ limit_ ^ \ ляво (x_1 - x_2 \ дясно) (\ sqrt) dt \ дясно | \ leqslant \ int \ limit_ ^ \ ляво | \ ляво (x_1 - x_2 \ дясно) (\ sqrt) \ дясно | dt \ leqslant \ int \ limit_ ^ \ max_ \ left | \ ляво (x_1 - x_2 \ дясно) (\ sqrt) \ дясно | dt = \\ & = \ max_ \ ляво | \ ляво (x_1 - x_2 \ дясно) (\ sqrt) \ дясно | = \ max_ \ ляво | \ ляво (x_1 - x_2 \ дясно) (t) \ дясно | = \ ляво \ | x_1 - x_2 \ вдясно \ | \ край [/ math]

\ съществува \ delta (\ varepsilon) = \ varepsilon \, \ colon "> [математика] \ forall \ varepsilon> 0

\ съществува \ delta (\ varepsilon) = \ varepsilon \, \ двоеточие [/ math] веднага щом [math] \ left \ | x_1 - x_2 \ дясно \ |