Квантови трептения

Препис

1 Бележки за лекции за аспиранти на Института по физика. L.V.Kirenskii SB RAS Квантови трептения (ефект на Хаас - ван Алфен) Dzebisashvili D.M. Лекционен план 1) Ефектът на de Haas van Alphen. ) Квазикласическа динамика на електрон в магнитно поле с произволно (k). 3) Полукласическо квантуване на движението на електрон в магнитно поле с произволно (k). 4) Квантуване на Ландау. 5) Формула на Лифшиц-Косевич Косевич.

2 1 Ефект на De Haas van Alphen Осцилационна зависимост на намагнитването (възприемчивостта) на метал от магнитното поле Диамагнетизъм на електронен газ L. Landau, Z. Phys, 64, 69 (193) χ dia Слаби магнитни полета. µ H k T 1 = χ 3 двойка Какво се случва в силно магнитно поле? Теория µ H k T? Експеримент на Haas W.J., van Alphen P.M. Pro Холандия Рой. Аад. Ай. 33, 116 (193) Първото наблюдение на ефекта dhva върху бисмутов монокристал LD LD Landau, EM Lifshits T.V, Статистическа физика. Ch 1, 59.6 (1) От книгата: D. Schoenberg. Магнитни трептения в металите. М.: Мир, (1986)

3 Динамика на електрон с произволен закон на дисперсията в магнитно поле (полукласическо разглеждане) H - не квадратично k = p m e

4 Динамиката на електрон с произволен закон на дисперсията в магнитно поле (полукласическо разглеждане) Основни уравнения на полукласическия подход: ɺ e 1 ħk = VHV = ħ, ke> = onst kkzkk Траектория в k-пространството HV k ɺ Магнитното полето не работи енергията е запазена e ħ (kk) = (RR) HR е радиусът на вектора на класическата траектория η kk = RR η = ħ/eh, RH

5 Динамиката на електрон в магнитно поле k траектория da H dk kkn (da) R траекторията се завърта с dθ Площ a θ 1)) 9 η = ħ eh dr Време на движение по елемента dk ħ ħ ħ k ndk ħ (da) ħ (da) dt = dk = dk = = = e eh eh eh k H eh knk е проекцията на вълновия вектор по магнитното поле k

6, k Циклотронна честота a) R ω C -монотонно увеличава Динамиката на електрон в магнитно поле π eh = a ħ k Спирална стъпка ħ a P = eh k, k + dk, ka 1 b) Изместване на електрон по поле 1 1 dr = Vdt = dt = dt = ħ kk ħ k ħ (da) ħ (da) = = eh kk eh ka 1, k + dk A da (da) k Площта на долната част намалява по-бързо от площта на горната част aaa/k 1 eh R ħ A da aa (, k) = a) b) ka/ka = t

7 За ефекта dhwa представляват интерес „екстремни“ орбити Динамиката на електрон в магнитно поле ak = За такива орбити: P = R - може да колебае Въпреки че проекцията на орбита в R-пространство върху равнина, нормална на H има същата форма като орбита в k-пространство, самата орбита в R-пространството може да не лежи в равнината, нормална на H. H kz VA ky AK Цилиндрична повърхност на Ферми CV Страничен изглед с перспектива CuO VAC-равнина Кръгова траектория η K tanθ kx A траектория в k-пространство KDK kx θ/osθ ky CH Изглед отгоре VA η K osθ AC η KVD траектория в R- пространство

8 Пример: газ на електрони в магнитно поле Дисперсионен закон на свободните електрони: ħ k ħ = = + mm Орбити в k-пространство на кръг с площ: (kk) a = π k в R-пространство на кръг, радиус: = = ħ/R ηk k eh За свободни електрони: V = ħk/m R = m V eh/(a, k) ħ a = + km π π ma = π k ħ ω C π eh π eh eh = = = a π mm ħ ħ k ħ ħ am = π k Определяне на масата на циклотрона за произволен закон на дисперсията

9 Пример: газ от електрони в магнитно поле Тъй като: dr ħ (da) = eh k, то във всички точки на траекторията на екстремната орбита (т.е. при k) траекторията на електрона = в R-пространството е перпендикулярно на H. k = k FV k Ако, тогава електронът се движи по спирална линия със стъпка: ħ a π ħ π P = = k = V eh k eh ωc k F kz V kk = В ефекта dhwa, както в термодинамиката и кинетиката основната роля играят електроните в близост до повърхността на Ферми ... За метали: ħ kf F =

1 8 (eV) m kf cm 8 1

10 3 Квазикласическо квантуване на движението на електрон в магнитно поле Условие на квантуване 1 Според Планк енергията на осцилатора се квантува: p m ω q m + = ħω S = πħn γ = Савелиев И.В. Курс по обща физика. Том 3, 16 Бор-Зомерфелд: n От уравненията на движение: e = α dqp = (n + γ) π ħ В полукласическото приближение за параболична зона: ep = ħk A, q = R e R ħk A e ħk = b RH, където b = onst dr (RH + A) π ħ (n + γ) () πħ Φ Hα = (n + γ) e R е площта - орбити в реалното пространство γ = 1/Landau LD, Лифшиц Е. М. Том III, Квантова механика 48 За електрон в магнитно поле можете да изберете: d = π ħ (n + γ) H π R dr dsh ħ = (n + γ) e Hα S Hα Магнитният поток през орбитата е квантована n =, 1,

11 Квазикласическо квантуване на движението на електрон в магнитно поле Тъй като: α = (ħ /) eh a Отношение на Осагер π eh a (, k) = (n + γ) дает Задава допустимите енергийни нива в зависимост от H, n, a, (k) Условие за квантуване на орбиталната област в k-пространство H, n, k. От и познавайки закона за дисперсията за всеки намираме k. H k z k y Стойността на n зависи от магнитното поле и за металите n

За H = броят на състоянията на единица обем k-пространство: Площ на пръстена: 3 = V/4π a = πeh/ħ dk Плътността на състоянията на дължина на тръбата е: g a dk V VeH dk = = 4π π ħ 3 3

12 Пример: газ от свободни електрони в магнитно поле За газ от свободни електрони отношението на Онзагер дава: H kz F ħ k (a, k) = + (n + γ) µ H m µ = eħ m ħ m - Магнетон на Бор (x + y) γ = 1/1 kk = n + µ H kxky тръби на Ландау коаксиални кръгли цилиндри с площ между пръстените: a = πeh/ħ в зависимост от полето H Показани са само заети състояния под повърхността на Ферми

13 4 Квантуване на Ландау. Квантов осцилатор ψ n Хамилтониан на квантов осцилатор: уравнение на Шрьодингер за квантов осцилатор: Landau L.D., Lifshits E.M. Том IIIi, Квантова механика 3 Спектър: 1/4 1 En = n + ω ħ Собствени функции: HІ mω 1 m ω = e ħ H n n x πħ n! ħ Чебишев - Ермитови полиноми: mω x pІ mω x = + m ħ d mω x ψ + = m dx nn ξ d Hn (ξ) = (1) een dξ (ξ) U (x) = Eψ kx E 4 E 3 EEE 1 x Tikhonov AN Samarskiy A.A., Уравнения на математическата физика, (1966)

14 Електрон в еднородно магнитно поле Хамилтониан на електрон в магнитно поле: Заместване e pІ pА A Peierls: Оператор на скоростта: И 1 e H = pИ A µ H m И ii И И e V = r = H, rm ˆ V = p A ħ V, V = ieħ H, V, V = ieħ H, [V, V] = ieħ H xyzyzxzxymmm Тук e Съгласен съм.