Велика енциклопедия на нефт и газ

Хиперкомплексна система

Хиперкомплексните системи и по-специално кватернионите са добре известни на алгебраистите. [един]

Хиперкомплексна система от ранг n се получава чрез въвеждане на умножение в n-мерното реално пространство R, удовлетворяващо аксиомите на алгебрата над полето. [2]

Дефинирали сме хиперкомплексна система, съответстваща на нашия G; към всяка пермутация Si от тази група свързваме основната единица ei и ако уравнението (1) е вярно: S Sj - Sk, тогава се съгласяваме, че произведението e j е равно на ek - Това правило е допустимо, тъй като операцията е асоциативна. [3]

От двата термина, хиперкомплексна система и алгебра, през последните години се дава предпочитание на втория, тъй като елементите на такива общи хиперкомплексни системи по своите свойства могат да се различават толкова много от обикновените числа, че е неуместно да ги наричаме хиперкомплексни числа. Термините хиперкомплексни системи, хиперкомплексни числа сега се прилагат само към най-простите алгебри, например към системата от обикновени кватерниони. [4]

По принцип, когато се изгражда хиперкомплексна система с пръстенна структура, между основните елементи на векторното пространство се дефинира структура на алгебра. [пет]

След 1870 г. започва общо проучване на хиперкомплексните системи. De-dekirid) съществува обща концепция за (асоциативен) пръстен, тяло и алгебра над поле (хиперкомплексна система), въпреки че той нарича пръстен не пръстен, а ред. Дедекинд доказа, че всяка крайномерна асоциативно-комутативна алгебра без нилпотентни елементи над полето на реалните числа е пряка сума от полета, изоморфни или на нулата R на реални числа, или на полето С на комплексни числа. [6]

Името на алгебра или хиперкомплексна система над поле A обикновено се разбира като алгебричен пръстен, който е едновременно десен или ляв A-модул. А елементите, чрез които всички останали елементи на 3t се изразяват линейно с коефициенти от А. Алгебра се нарича крайна, ако има крайна основа. Заедно с основата често е необходимо да се разгледат генераторите на алгебрата. Всички елементи на алгебра могат да бъдат изразени като некоммутативни полиноми в генераторите. [7]

На тъга дължа по-целенасочена дефиниция на концепцията за хиперкомплексна система и разширение на теорията на Галуа за разделящите полета на окръжност до степента, изисквана от нейното приложение към теорията на цикличните полета. [8]

Cartan) получи най-значимите резултати по теорията на хиперкомплексните системи. По това време теорията за хомоморфизмите вече е достатъчно развита, връзката им с идеалите е изяснена и се появява концепцията за пряка сума от алгебри. [девет]

Следователно, събирането на всички възможни линейни комбинации от разликите At - E образува матрична хиперкомплексна система. Тази система се разделя на абсолютно неприводими части и сред тях няма нулеви части. Следователно разглежданата система съдържа несингулярни матрици. [десет]

В съвременната математика вместо архаичния термин, по-висша сложна система (или хиперкомплексна система), се приема друг термин: крайномерна алгебра над полето на реалните числа. Ако уравненията xa b, ay b са разрешими в разглежданата алгебра за всяко a Φ 0 в b, то тя се нарича алгебра на деление. Фробений (доказан от него през 1877 г.) твърди, че има само две крайномерни алгебри над полето на реалните числа, в които умножението е комутативно, асоциативно и няма нулеви делители - това е самото реално поле и полето на комплексните числа . Освен това, втората част от теоремата на Фробениус твърди, че ако се откажем от комутативността, но въпреки това приемем, че умножението е асоциативно, тогава има още една уникална крайномерна алгебра над полето на реалните числа - това са кватерниони, които Клайн продължава да описва. И накрая, отхвърлянето на асоциативността дава друга алгебра с осем единици (една реална и седем въображаеми), която е открита от английския математик Кейли. Алгебрата на Кейли е алтернативна, т.е. подалгебрата, генерирана от всеки два от нейните елементи, е асоциативна. Понастоящем е известно, че освен четирите посочени алгебри, няма други алтернативни алгебри над полето на реалните числа. [единадесет]

Методът е предложен през 1887 г. от Peano), като последният използва за доказателство хиперкомплексна система с m единици или, което е същото, матрично смятане. През 1903 г. Бекер 2), независимо от Peano, отново открива и разработва метода Peano, произвеждайки от него така наречения метод за интегриране на Peano-Becker, към който сега продължаваме. [12]