Алгебрично числово поле

Алгебрично числово поле, алгебрично числово поле (или просто числово поле) Е крайно (а оттам и алгебрично) разширение на полето на рационалните числа Q>. По този начин числовото поле е поле, съдържащо Q> и е крайно измерно векторно пространство над него.

Числовите полета и по-общо алгебричните разширения на полето на рационалните числа са основният обект на изследване в алгебричната теория на числата.

Съдържание

  • Най-малкото и основно числово поле е полето на рационалните числа Q> .
  • Гаусовите рационални числа, обозначени с Q (i) (i)>, са първият нетривиален пример за числово поле. Неговите елементи са изрази на формата
a + b i, където a и b са рационални числа, i е въображаема единица. Такива изрази могат да се добавят и умножават според обичайните правила за действие със сложни числа и всеки ненулев елемент има обратна, както се вижда от равенството (a + bi) (aa 2 + b 2 - ba 2 + b 2 i) = (a + bi) (a - bi) a 2 + b 2 = 1. + b ^ >> - + b ^ >> i \ right) = + b ^ >> = 1.> Това означава, че рационално Гаусовите числа образуват поле, което е двумерно пространство над Q> (т.е. квадратно поле).
  • По-общо за всяко цяло квадратно число d Q (d) (>)> ще бъде квадратно разширение на полето Q> .
  • Кръговото поле Q (ζ n) (\ zeta _)> се получава чрез добавяне на примитивен корен към Q>н-та степен от един. Полето трябва също да съдържа всички негови степени (т.е. всички корени н-th степен на единство), нейното измерение над Q> е равно на функцията на Ойлер φ (n) .
  • Реалните и комплексните числа са с безкрайна степен над рационалните числа, така че те не са числови полета. Това произтича от неизброимостта: всяко числово поле се брои.
  • Полето на всички алгебрични числа A не е числово. Въпреки че разширението A ⊃ Q> е алгебрично, то не е крайно.

Тъй като числовото поле е алгебрично разширение на полето Q>, всеки от неговите елементи е корен на някакъв полином с рационални коефициенти (т.е. той е алгебричен). Освен това всеки елемент е корен от многочлен с целочислени коефициенти, тъй като всички рационални коефициенти могат да бъдат умножени по произведението на знаменателите. Ако дадения елемент е корен на някакъв унитарен полином с целочислени коефициенти, той се нарича цяло число елемент (или алгебрично цяло число). Не всички елементи на числово поле са цели числа: например, лесно е да се покаже, че единствените целочислени елементи на Q> са обикновени цели числа.

Разлагане на основни и групи класове

Произволният пръстен на Дедекинд също съдържа уникално разлагане на ненулеви идеали в продукт на прости числа. Не всеки пръстен от цели числа обаче удовлетворява свойството факториалност: дори за пръстена от цели числа на квадратно поле OQ (- 5) = Z [- 5]> _ (>)> = \ mathbb [>]> разлагането не е единствен по рода си:

Въвеждайки норма на този пръстен, може да се покаже, че тези разширения са наистина различни, тоест едно не може да бъде получено от другото чрез умножение по обратим елемент.

Степента на нарушение на факториалното свойство се измерва с помощта на групата идеални класове, тази група за пръстен от цели числа винаги е крайна и нейният ред се нарича брой на класовете.

Цяла основа

Цяла основа числово поле F степен н Е много

на н елементи от пръстена на целочислени полета F, така че всеки елемент от пръстена на цели числа НА полета F може да се напише по единствения начин като Z.-линейна комбинация от елементи Б.; тоест за всеки х на НА има само едно разлагане

Където ми Са обикновени цели числа. В този случай всеки елемент F може да се запише като

Където ми Рационални числа. След това цели елементи F се отличават със свойството, че това са точно елементите, за които всички ми цяло.

Използвайки инструменти като локализация и ендоморфизъм на Фробениус, може да се изгради такава основа за всяко числово поле. Неговата конструкция е вградена функция в много системи за компютърна алгебра.

Основа на мощността

Нека бъде F - числово мощностно поле н. Сред всички възможни бази F (като Въпрос:-векторно пространство), има основи на мощността, тоест бази на формата

за някои х ∈ F. Според теоремата за примитивния елемент такъв х винаги съществува, той се нарича примитивен елемент това разширение.

Елементите на тази матрица зависят от избора на основата, но всички инварианти на матрицата, като детерминанта и трасировка, не зависят от нея. В контекста на алгебричните разширения се нарича детерминанта на матрица за умножение на елементи нормата този елемент (обозначен с N (x)); проследяване на матрицата - следващ елемент (обозначено с Tr (x)> (x)>).

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y)> (x + y) => (x) +> (y)> и Tr (λ x) = λ Tr (x), λ ∈ Q> (\ lambda x) = \ lambda> (x), \ lambda \ in \ mathbb> .

Нормата е мултипликативна и хомогенна функция:

Като начална основа можете да изберете целочислена основа [⇨], умножението по цяло число алгебрично число (т.е. по елемент от пръстена на цели числа [⇨]) в тази база ще съответства на матрица с цели числа. Следователно следата и нормата на всеки елемент от пръстена на цели числа са цели числа.