Функции на много променливи

1. Начертайте ODZ функции .

- права линия се изрязва по осите 0X и 0Y сегменти 2 и

или - под правата линия

2. Начертайте линията на ниво за функция .

производна диференциална променлива

- линии на ниво - линии на равнината X0Y - проекции на линии, които се получават, когато повърхността се пресича с равнини

- кръг с радиус 3

3. Намерете частичните производни на първия ред на функцията .

4. Намерете общото нарастване и диференциала на функцията вкл.,. Изчислете тези стойности при условие и .

Пълно увеличение на функцията

- диференциална функция Z., кое е

5. Покажете, че функцията удовлетворява уравнението на топлината. е температурата на пръта в точката във времето t.

Намерете частичните производни и ги заместете в уравнението:

6. Намерете допирателната равнина и нормалния вектор към графиката на функцията в точка .

Ако функцията е дадена изрично, тогава търсим допирателната равнина във формата:

Намираме частичните производни, след това в точка P и ги заместваме в тези формули.

- уравнението на необходимата допирателна равнина (тя е успоредна на оста 0X).

B - нормално уравнение.

7. Намерете екстремните точки на функция от две независими променливи:
- И)

един). Необходимо условие за екстремум.

От второто уравнение у:

Точки - критични до крайност.

2). Достатъчно състояние

И така, има екстремум

Отговор: включително - минимална функция.

един). Необходимо условие за екстремум.

Точки - критични до крайност.

2). Достатъчно състояние

Отговор: включително - минимална функция.

8. Изчислете градиента и производната на посоката на функцията в точката .

град и към

Посочена производна:

и - посока на косинусите на вектора

9. Намерете диференциала от втори ред на функцията .

Диференциал от втори ред

Намерете производните и ги заместете в:

10. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в областта .

Ще търсим най-големите и най-малките стойности на тази функция в областта D измежду нейните крайни (или критични) стойности:

1) вътре в зоната
2) на нейните граници
3) в възловите точки

Нека сравним и изберем.

един). Необходимо екстремно състояние:

Точки и са критични за екстремума, и двете .

2) На границите:
- и)

Нека сравним всички стойности Z. в "рамки" и отговорът:

Най-голяма стойност на функцията Z. в района на д: в точки и, най-малката в точка .

11. Каналите на две реки в определена област представляват приблизително парабола и права линия. Необходимо е тези реки да се свържат с най-късия праволинеен канал. Чрез какви точки да го нарисувате?

Прав канал - прамая AB - перпендикулярна на коритото на реката - права CD и отива от точката И, лежи върху парабола (така че AB беше най-малката).

Нека, тогава, т.е. т. .

От т. До права линия измерваме по формулата

Производната е очевидно квадратът расте по-бързо и.

Така че в t. И - мин

Това е точка на парабола

На права линия, точката на нейното пресичане с перпендикуляра през t.