Етапи на развитие на тригонометрията като наука

1.1 Етапи на развитие на тригонометрията като наука

Тригонометрията е една от най-младите катедри по елементарна математика, която получи окончателната си форма едва през 18 век, въпреки че някои от нейните идеи принадлежат към дълбока античност, към древния свят и към математическата работа на индусите (К. Птолемей, II век, Ал Батани, IX век и др.). Европейските математици са постигнали висока степен на съвършенство в изчисляването на таблици на естествените синуси и допирателни (Regiomontanus, XV век, Reticus и Pitiscus, XVI век и др.).

Самото наименование "тригонометрия" от гръцки произход, което означава "измерване на триъгълници": (тригон) - триъгълник, (metrain) - измерване.

Научното развитие на тригонометрията е извършено от L. Euler в неговата работа „Jntroductio in analysis infinitorum“ (1748). Той създава тригонометрията като наука за функциите, дава й аналитично представяне, извежда целия набор от формули от няколко основни формули. Обозначаването на страните с малки букви и противоположни ъгли - в съответните големи букви му позволи да опрости всички формули, да внесе яснота и хармония в тях. Ойлер излезе с идеята да разгледа тригонометричните функции като съотношение на съответните линии към радиуса на окръжността, тоест като числа, и взе радиуса на окръжността като „пълен синус“ като единица. Ойлер получи редица нови отношения, установи връзка между тригонометричните функции и експоненциалните, даде правило за знаците на функциите за всички тримесечия, получи обобщена формула за редукция и освободи тригонометрията от много грешки, допуснати в почти всички европейски учебници на математика.

По-късно композицията на Л. Ойлер служи като основа за учебниците по тригонометрия. Един от първите ръководства, „Съкратена математика“ от С. Румовски (1760), раздел „Първоначални основи на равнинната тригонометрия“, започва презентацията по следния начин: „Плоскостната тригонометрия е знанието за намиране на триъгълници чрез аритметични изчисления, които геометрията намира рисунка ". Цялата презентация се свежда до решаване на триъгълници (най-простите случаи), изчисленията се извършват по много сложен начин, няма доктрина за функциите.

По този начин тригонометрията възниква на геометрична основа, има геометричен език и се прилага за решаване на геометрични задачи. Развитието на алгебричната символика направи възможно записването на тригонометрични отношения под формата на формули; използването на отрицателни числа даде възможност да се разгледат насочени ъгли и дъги и да се разшири концепцията за тригонометрични линии (определени сегменти в окръжност) за всякакви ъгли. През този период е създадена основа за изследване на тригонометричните функции като функции на числов аргумент, основата на аналитичната теория на тригонометричните (кръгови) функции. Аналитичен апарат, който позволява да се изчисляват стойностите на тригонометричните функции с всякаква степен на точност, е разработен от Нютон. [25]

Тригонометрията получи своята съвременна форма в трудовете на великия учен, член на Руската академия на науките Л. Ойлер (1707 - 1783). Ойлер започва да разглежда стойностите на тригонометричните функции като числа - величината на тригонометричните линии в окръжност, радиусът на която се приема за единица („тригонометрична окръжност“ или „единична окръжност“). Ойлер даде окончателното решение за знаците на тригонометричните функции в различни четвърти, изведе всички тригонометрични формули от няколко основни, установи няколко неизвестни преди него формули, въведе еднакви нотации. В неговите трудове записите се срещат за първи път. Той също така откри връзката между тригонометричните и експоненциалните функции на сложен аргумент. Въз основа на трудовете на Л. Ойлер са съставени учебници по тригонометрия, представящи я в строга научна последователност.

Аналитичната (независима от геометрията) конструкция на теорията на тригонометричните функции, започната от Ойлер, е завършена в трудовете на великия руски учен Н.И. Лобачевски.

Съвременната гледна точка на тригонометричните функции като функции на числов аргумент се дължи до голяма степен на развитието на физиката, механиката и технологиите. Тези функции са в основата на математическия апарат, с помощта на който се изучават различни периодични процеси: колебателни движения, разпространение на вълните, движение на механизми, трептене на променлив електрически ток. Както е показано от J. Fourier (1768 - 1830), всяко периодично движение с всякаква степен на точност може да бъде представено като сбор от най-простите синусоидални (хармонични) трептения. Ако в началото на развитието на тригонометрията съотношението само изразява зависимостта между площите на квадратите, изградени от страните на редуващ се правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на 1, то по-късно това съотношение също започва да отразява добавянето на две колебателни движения с получената интерференция.

През този период бяха дадени обобщения на много термини на тригонометрията и по-специално бяха изведени отношения за, където n е естествено число и др. Функции и сега се разглеждат като суми на степенни редове:

Академик М. В. Остроградски прави крачка напред през 1851 г. В своето резюме на тригонометрията за лидерство във военни учебни заведения той действа като привърженик на дефиницията на тригонометричните функции на първия етап от тяхното изследване като странични съотношения в правоъгълен триъгълник с последващото обобщаване на тяхното определение и разширяването му до ъгли от всякакъв размер. [24]