Елементи на теорията на вероятностите в примери и проблеми. Козлов М.В.

М.: Издателство на Московския държавен университет, 1990 - 344 с.

Основите на теорията на вероятностите са представени под формата на примери и задачи, на които подробните решения са дадени в текста. Нивото на трудност варира в широки граници: от обучителни задачи до малки изследвания, които могат да послужат като начало на курсовата работа. Общо има около 450 примера и проблеми. Принципът на представяне - от конкретни модели до общи концепции - е насочен към развиване на вкуса и уменията на читателя за самостоятелно научно творчество. За усвояване на материала е достатъчно да се познават основите на математическия анализ.

Формат: pdf/zip

Изтегляне/Изтегляне на файл

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор
Глава I.
НАЧАЛНИ КОНЦЕПЦИИ 9
§ 1. Вероятност в класическата схема
Класическа вероятност и елементи на комбинаториката (1.1-1.10). Симетрично произволно ходене (1.11-1.19). Модел на урна (1.20-1.30).
§ 2. Пространство на вероятностите, случайни променливи, разпределение на вероятностите 25
Събития и вероятностна мярка (2.1-2.4). Тестове на Бернули (2.5, 2.6). Деления, случайни променливи в схемата на Бернули (2.7—2.14). Случайни променливи в схемата на безкрайна последователност от тестове на Бернули (2.15-2.18). Проблемът с руините (2.19, 2.20).
§ 3. Непрекъснати вероятностни модели 42
Случайни променливи в схемата на случаен подбор на точки от сегмент, функция на разпределение, плътност (3.1-3.10). Поасонов процес и гранична схема на Поасон (3.11-3.15). Разпределение на Arcsine в симетрична разходка (3.16). Формулата на Стърлинг и нормалното разпределение в симетричната схема на ходене (3.17-3.21). Многовариантни разпределения (3.22-3.27).
§ 4. Независимост 66
Независими дискретни случайни променливи, разпределение на сумата, генериращи функции (4.1-4.11). Независими събития (4.12 - 4.14). Независими непрекъснати случайни променливи (4.15-4.22). Поасонов процес и експоненциално разпределение (4.23-4. ^ 6). Брауново движение (4.27).
§ 5. Условна вероятност 86
Условни разпределения на дискретни случайни променливи (5.1-5.10). Марковски вериги (5.1 i -5.16). Условни плътности (5.17, 5.18). Марковски вериги с непрекъснат набор от състояния (5.19, 5.20).
§ 6. Пространство и мярка 101
Алгебра на множества, мярка и нейните свойства (G.1-6.7). Разширение на алгебрата на множества, външна мярка, измерими множества, теорема за съществуването и уникалността на разширението на мярка (6.8-6.18). Мярка на Лебег (6.19). Мерки по линията и разпределителните функции (6.20-6.23). Измерете в равнината (6.24, 6.25). Тестови последователности (G.26-6.2S). Монотонни класове (6.3 0- 6.37).

Глава II.
ХАРАКТЕРИСТИКИ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТ. ... 128
§ 7. Математическо очакване 128
Математическо очакване на дискретни случайни величини (7.1—7.16). Общо очакване: дефиниция, свойства, изчисление (7.17-7.34).
§ 8. Дисперсия, ковариация, средно-квадратно разстояние 143-
Неравенството на Чебишев, дисперсията, законът на големите числа в схемата на Бернули (8.1-8.10). Приближение на непрекъснатите функции (8.11, 8.12). Изчисляване на n дисперсионни свойства (8.13-8.16). Ковариация (8.17-8.21). Средно квадратно разстояние (8,22). Дисперсия на сумата (8.23, 8.24). Законът за големите числа под формата на Чебишев (8.25). Дисперсията като мярка за качеството на статистическата оценка (8.26, 8.27). Ковариационна матрица (8.28-8.35). Линейни оценки с минимална дисперсия (8.36).
§ 9. Условно очакване 158 '
Определение (9.1-9.3). Оптимална нелинейна оценка (9.4). Изчисляване и свойства на условното очакване в дискретния случай (9.5-9.12). Свойства в непрекъснатия случай (9.13-9.17). Многовариантно нормално разпределение (9.18). Безпристрастна оценка и достатъчно статистика (9.19-9.22). Мартингали (9.23). Процес на разклоняване (9.24).
§ 10. Измерими функции и интеграл 174-
Интеграл на Лебег от прости функции (10.1-10.12). Интеграл на Лебег и неговите свойства (10.13–10.28). Интеграли на Riemann, Lebesgue, Rie-maia-Stilties, Lebesgue-Stilties (10.29, 10.30). Интеграл върху произведението на пространствата (10.31-10.35). Мерки и плътности (10.36-10.40). Марковски процеси (10.41).
Глава III.
НЯКОИ МОДЕЛИ И МЕТОДИ НА ТЕОРИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТТА 199
§ 11. Проста симетрична разходка 199
Времената за достигане и връщане (11.1-11.6). Гранични теореми за времената на пристигане и връщане (11.7, 11.8). Процес на разклоняване (11.9). Условна разходка и Браунов мост, гранични теореми (11.10-11.18, 11.21). Гаусови процеси (11.19, 11.20). Обиколка на Браун (11:22).
§ 12. Схема на Бернули и проста разходка 223
Нормално приближение и големи отклонения за биномното разпределение (12.1-12.4). Нормална апроксимация за Поасон, отрицателни биномни и гама разпределения (12,5-12,7). Емпирична функция на разпределение, статистика на Колмогоров-Смирнов (12.8—12.10). Конвергенция с вероятност 1, силен закон на големи числа, леми на Борел-Кантели (12.11-12.14). Време на достигане (12.15). Гранични теореми за обикновена разходка (12.16–12.20). Средно и дисперсия на времето за достигане (12.21). Теорема за условна граница (12.22).
§ 13. Сходимост на разпределенията, преобразуването на Лаплас и характеристичните функции 247
Сближаване на случайни променливи и разпределения (13.1-13.10). Асимптотична нормалност на квантили за проби (13.11). Сближаване на генериращите функции (13.12-13.14). Риман - интеграл на Stieltjes, преобразуване на Лаплас, инверсионна формула, теорема за непрекъснатост, моменти (13.15-13.30, 13.33). Прилагане на трансформацията на Лаплас (13.31, 13.32, 13.34, 13.35). Характерни функции
(13,36-13,42). Законът за големите числа под формата на Хинчин (13.43). Теорема за централната граница (13.44-13.53). Апроксимация на непрекъсната функция от тригонометрични полиноми (13.54). Формула за инверсия за целочислени стойности (13.55).
§ 14. Марковски модели 277
Нехомогенна проста разходка (14.1-14.9). Процес на Галтън-Уотсън (14.10-14.24). Процес на условно разклоняване (14.25-14.29). Процес на разклоняване с параметър q> 1 (14.30-14.34). Процеси с имиграция (14.35-14.37). Процес на разклоняване в произволна среда (14.38). Дискретни процеси на възстановяване и вериги на Марков (14.39-14.48).
Литература 342
Списък на символите и съкращенията 343