диференциален оператор

ДИФЕРЕНЦИАЛЕН ОПЕРАТОР - оператор, посочен от diferencia. изразяване и действие в пространството на ф-циите. Диференциал израз обобщава понятието за производно. Обикновен диференциал изразът е в процес на изграждане. начин. Нека F (x, y0, y1, ..., Yn) е реална функция на (n + 2) променливи, дефинирани за стойностите на нейните аргументи в правоъгълна област, където I, Jk са сегменти от числовото ос (евентуално ще). Диференциалът, съответстващ на него. изразът е дефиниран на f-tions u (x) с необходимите свойства на диференцируемост в: за x от I всички съществуват и приемат стойности от Jk при Max. нарежда се редът на производната. диференциране по ред. изрази. Диференциал израз, наречен квазилинеарна, ако F е линейна по yk, и линейна, ако е линейна по всички yk,. Всички останали диференциали изрази, наречени. нелинейни. За диференциране. изрази с частични производни, независимите променливи преминават през региона в, а останалите аргументи на F са f -tion и (x) и неговите частични производни .

Квазилинеен диференциал частичните диференциални изрази означават линейност на F във всички производни на макс. ред, а неговата линейност е линейността на F във всички производни на самата функция и. Цялата тази терминология автоматично се прехвърля на D. o.

В допълнение към диференция. Изразите на Д. се определя от класа на ф-циите, в който действа. С мат. гледна точка декомп. класове функции (с различни свойства на гладкост и различни гранични условия) съответстват на dec. Преди. Тази разлика има и нац. интерпретация.

В повечето физически. примери за D. o. линейна. Най-важните от тях са операторите на квантовата механика. Например, операторите на импулса, орбиталния ъглов момент и хамилтониана за вълнови функции в координатното представяне са изпълнени като диференциални оператори:

,

(тук j, k, l - циклични пермутации на индекси 1, 2, 3, m - маса, V - потенциална енергия на частицата). Физ. тълкуване на техните собствени. ценности изисква тези D.O. са били самосвързани оператори. Но дори и в тривиално физическо. В ситуацията на едномерно свободно движение по полуосът, хамилтонианът ще бъде самоприлежащ D.O. само за вълнови f-тиони, отговарящи на граничните условия ms на веществата. и. Такива f-тиони могат да бъдат представени като суперпозиция на входящите и изходящите равнинни вълни с импулс k, където описва промяната на фазата при отражение в точката q = 0. Т. о., Различните гранични условия описват различни закони на отражение и следователно различни физически. ситуации.

С помощта на диференция. изрази формулират и диференцират. ур-ния. Следователно въпросите за съществуването, уникалността, зависимостта от началото. данни за решенията диференцирани. ur-niy са естествено поставени на езика на свойствата на D. o. като въпроси за домейна, ядрото и непрекъснатостта на обратния оператор. Например, теореми за съществуването на решения се доказват с помощта на метода на свитите отображения - класически. метод на теорията на операторите. Основна информация се предоставя от изследването на спектъра на D. o. и свойствата на нейния разтворител, като се разлага самостоятелно. f-ция, изследването на смущения D. около. Найб. е разработена теорията на линейните диференциални оператори, които като цяло са най-важният пример за неограничени оператори (вж. Линеен оператор). Диференциал геометрия и физика. приложения, специална роля играе класът на диференциални о., които не се променят или променят специални. начин при въздействие върху диференциа. израз на трансформации от определена група (виж например ковариантна производна, оператор на Лаплас). Преди. служат за описване на структурата на определен брой мат. обекти. Например, обобщена функция на бавен растеж може да бъде представена като резултат от действието на диференциална система. върху непрекъсната функция на нарастване на мощността.