ATS диференциално уравнение и тяхната линеаризация

Известно е, че всяко движение, процеси на предаване, обмен, трансформация на енергия и материя могат да бъдат математически описани под формата на диференциални уравнения (DE). Всички процеси в АКТБ също могат да бъдат описани чрез диференциални уравнения, които определят същността на процесите, протичащи в системата, независимо от нейния дизайн и т.н. След решаването на DE, е възможно да се намери естеството на промяната в контролираната променлива в преходни и стационарни режими при различни въздействия върху системата.

За да се опрости проблемът с намирането на система за управление, която описва работата на АКТБ като цяло, системата е разделена на отделните си елементи, преходните процеси в които са описани от доста прости системи за управление. Тъй като DE описват работата на дадена система, независимо от физическата същност на процесите, протичащи в нея, тогава при разлагането на системата няма нужда да се отчита тяхната физическа цялост. За всеки елемент от структурната диаграма е необходимо да се състави DE, който определя зависимостта на промяната в изходното количество от входа.

Тъй като изходната стойност на предишния елемент е входната за следващия, след като определихме DE на отделните елементи, можем да намерим DE на системата.

Този метод обаче е приложим само в специални случаи. Факт е, че в повечето случаи в реалните елементи на системата връзката между входните и изходните величини е нелинейна и често се дава в графична форма. Следователно, дори ако се получи диференциално управление на системата, то ще бъде нелинейно. А аналитичното решение на нелинейни DE не винаги е възможно.

За да се реши този проблем, се взема предвид, че в процеса на регулиране отклоненията на всички променящи се величини от техните стационарни стойности са малки и следователно е възможно нелинейните DE да бъдат заменени с приблизителни линейни DE, т.е., възможна е линеаризация на диференциални уравнения.

Нека разгледаме същността на процеса на линеаризация на примера на шкаф за сушене. Зависимостта на температурата на обекта от приложеното напрежение в повечето случаи е нелинейна и има формата, показан на фигурата.

Графично линеаризацията на някакво уравнение в две променливи F (x, y) = 0 в близост до някаква точка (x0, y0) може да бъде представена като заместване на разглежданата част от кривата с тангенс, чието уравнение се определя по формулата

където и са частичните производни на F по отношение на x и y. Това уравнение се нарича уравнение на стъпки, тъй като тук стойностите на x и y се заменят със стъпките Dx = x - x0 и Dy = y - y0.

DE линеаризацията се извършва по подобен начин, единствената разлика е, че е необходимо да се търсят частични производни по отношение на производни (, и т.н.). Окончателното уравнение на стъпки ще съдържа стъпките на производни: Dx '= x'– x'0, Dx ”= x” - x ”0,…, Dy' = y'– y'0, Dy” = y ” –Y ”0 и т.н.

Пример. Линеаризация на нелинейни DE.

3xy - 4x 2 + 1.5 y = 5 + y

Това DE е нелинейно поради наличието на произведения на променливите x и y. Линеаризираме го в близост до точката с координати x0 = 1, = 0, = 0. За да определим липсващото начално условие у0, заместваме тези стойности в DE:

Нека въведем функцията

F = 3xy - 4x 2 + 1.5x'y - 5y '- y

и дефинирайте всички негови производни за дадените начални условия:

= (3y - 8x = 3 * 2 - 8 * 1 = -2,

= (3x + 1.5x ’- 1 = 3 * 1 + 1.5 * 0 - 1 = 2,

= (1,5y = 1,5 * 2 = 3

= -5.

Сега, използвайки получените коефициенти, можете да запишете крайното линейно диференциално уравнение:

-пет. Dy '+ 2. Dy + 3. Dx '- 2. Dx = 0.

Линеаризация на DE, дадена изрично по отношение на y, т.е. y = F (x) се получава по формулата

тоест в този случай няма нужда да се търсят производни по отношение на y.

Структурни диаграми.

За изследвания и изчисления структурната диаграма на АКТБ посредством еквивалентни трансформации води до най-простата стандартна форма „обект - регулатор“. Почти всички инженерни методи за изчисляване и определяне на параметрите на настройките на регулатора се прилагат за такава стандартна структура.

В общия случай всеки едномерен ACP с основна обратна връзка чрез постепенно разширяване на връзките може да бъде сведен до тази форма.

Ако изходът на системата y не се подава към нейния вход, тогава се получава система за управление с отворен контур, чиято трансферна функция е дефинирана като продукт:

(Wp е PF на контролера, Wy е PF на контролния обект).

Тоест последователността от връзки Wp и Wy може да бъде заменена от една връзка с W ¥. Предавателната функция на затворена система обикновено се обозначава като Ф (s). Може да се изрази чрез W ¥:

Фз (s) = = .

(по-нататък ще разгледаме само системи с отрицателна обратна връзка, тъй като те се използват в преобладаващото мнозинство от АКТБ).

Тази трансферна функция Фз (s) определя зависимостта на y от x и се нарича трансферна функция на системата със затворен цикъл по канала на настройващото действие (при задание).

За ACP има и функции за прехвърляне на други канали:

Фe (s) = = - по погрешка,

Фв (s) = = - чрез възмущение,

където Wv.v. (s) е трансферната функция на управляващия обект по предавателния канал на смущаващото влияние.

По отношение на отчитането на смущението са възможни две възможности:

- смущението има адитивен ефект върху контролното действие;

- смущението влияе върху измерването на контролирания параметър.

Пример за първата опция може да бъде ефектът от колебанията на напрежението в мрежата върху напрежението, подавано от регулатора към нагревателния елемент на обекта. Пример за втората опция: грешки при измерване на контролирания параметър поради промени в околната температура. Wu.v. - модел на влиянието на околната среда върху измерванията.

За първата опция функцията за прехвърляне Wu.v. се приема равно на Wу, за второто - като правило, на диаграмата е подчертано в отделна връзка.

Тъй като трансферната функция на система с отворен цикъл в общия случай е дробно-рационална функция от формата W ¥ =, тогава трансферните функции на затворена система могат да бъдат трансформирани:

Фз (s) = = =,

Фe (s) = = =,

Както можете да видите, тези трансферни функции се различават само по изразите на числителите. Извиква се изразът на знаменателя характерен израз на затворената система и се обозначава като Dz (s) = A (s) + B (s), докато изразът в знаменателя на трансферната функция на системата с отворен цикъл W ¥ се нарича израз на характеристика с отворен цикълКато).

Пример. Определяне на ACP трансферните функции.

Структурата на АКТБ е показана на фигурата. Необходимо е да се определят трансферните функции на контролера, централата, системата с отворен контур, системата със затворен контур и характеристичните изрази.

В структурната схема на АСР, връзките, съответстващи на регулиращото устройство, стоят пред връзките на управляващия обект и генерират управляващо действие върху обекта u. Диаграмата показва, че връзки 1, 2 и 3 принадлежат към веригата на регулатора, а връзки 4 и 5 принадлежат към обектната диаграма.

Като се има предвид, че връзки 1, 2 и 3 са свързани паралелно, получаваме трансферната функция на регулатора като сума от трансферните функции на връзките:

Връзки 4 и 5 са свързани последователно, поради което предавателната функция на контролния обект се дефинира като произведение на предавателните функции на връзките:

Функция за прехвърляне с отворен цикъл:

откъдето може да се види, че числителят B (s) = 1,5. s 2 + 3. s + 1, знаменателят (известен също като характеристичен полином на системата с отворен цикъл) A (s) = 2. s 3 + 3. s 2 + s. Тогава характерният полином на системата със затворен цикъл е:

D (s) = A (s) + B (s) = 2. s 3 + 3. s 2 + s + 1.5. s 2 + 3. s + 1 = 2. s 3 + 4.5. s 2 + 4. s + 1.

Функции за прехвърляне със затворен цикъл:

по задание,

по погрешка .

При определяне на предавателната функция за смущението се взема Wu.v. = Уау. Тогава