Сложни повърхности и основите на планирането на управлението на роботната машина за тяхното възпроизвеждане

Апроксимация на сложни пространствени повърхности, определени от координатите на контролните точки.

За да се сближат сложните пространствени повърхности, определени от координатите на повърхностните контролни точки, препоръчително е да се използват многомерни полиноми. За разлика от описанието на повърхността чрез сплайн функции, този метод ви позволява да изключите трептящия процес, който възниква в резултат на съвпадението на повърхностните точки в контролните точки и липсата на гладкост на полученото описание в интервалите между контрола на повърхността точки. В този случай приближението на повърхността между две точки се основава на познаването на координатите на контролната точка и частичните производни в тази точка. Това не налага изисквания за гладкостта на повърхността между опорните точки.

Когато описвате гладки повърхности с полиноми, е необходимо да знаете координатите на предишната и следващите референтни точки на повърхността. В този случай повърхността се изглажда между контролните точки. Помислете за приложението за тези цели на многомерни полиноми на Лагранж в зависимост от две променливи. Методът на придружаващия триедър, разгледан по-горе за описване на повърхности, в комбинация с полиноми на Лагранж дава възможност да се планира траекторията на движение на инструмента спрямо детайла и да се формира контрол на манипулатори за повърхности, определени от координатите на контролните точки.

Описанието на повърхността чрез полиноми се състои в последователно решение на следните задачи:

Приблизително описание на повърхността чрез полиноми в дадените координати на повърхностните контролни точки в координатната система (XYZ) d .
Определяне на ориентацията на придружаващия триедър спрямо осите на координатната система (XYZ) d .
Намиране на елементите на матрицата, която определя закона за движение на инструмента спрямо детайла.

Задача 1 е да се получат коефициентите на полиномите на Лагранж за дадените координати на референтните точки на повърхността. Интерполация Полиноми на Лагранж на една променлива позволяват да се апроксимира функцията y = f (x) в координатната система на детайла (XYZ) q, зададена от координатите на контролните точки (xi, yi)

където коефициентите на полиномите на Лагранж p (xi) се определят чрез стойностите xi, yi в референтните точки

където, n е степента на полинома.

Полином на Лагранж на две променливи за повърхността, показана на фиг. 11.3, по аналогия с полинома на една променлива има формата

където е броят на поддържащите участъци на повърхността по оста Xd; - броят на поддържащите участъци на повърхността по оста Zd; pij са коефициентите на полинома, определени чрез координатите на референтните точки на повърхността.

Помислете за приближението на повърхността с полиноми на Лагранж от втора степен.

При интерполиране на повърхност с полиноми от две променливи е необходимо референтните точки на повърхността (интерполационни възли) да образуват мрежа. Най-удобна е правоъгълна решетка с равномерно разпределение на клетките. В този случай повърхността, представена от координатите на възлите на правоъгълната решетка (фиг. 11.3, а), в зависимост от местоположението на текущите координати (z, x) на повърхността, последователно се „покрива“ с правоъгълник (фиг. 11.3, б). В този случай за по-точно сближаване е необходимо текущите координати на повърхността (z, x) да са в областта на центъра на правоъгълника, ограничен от координатите

Последователността на избора на контролни точки, описващи дадена ограничена площ на повърхността, където преминава планираната траектория, е, че всички следващи контролни точки на повърхността се избират само след като i-тата точка на планираната траектория напусне центъра на правоъгълника (Фигура 11.3, б).

Постоянните коефициенти на полинома pij (11.8) се определят за всеки елемент на повърхността чрез координатите на известните референтни точки на повърхността

Като се вземе предвид приетата нотация, полиномът (11.8) се свежда до формата

където коефициентите ak се изчисляват чрез константите pij и координатите на референтните точки на повърхността.