Спектрална последователност

Спектралната последователност на Leray за правилно картографиране е добре известна ([15]) и има множество приложения в топологията, алгебричната геометрия и сложния анализ. За нашите цели, особено за доказателство на теорема 2.3, трябва да обобщим леко стандартната теория.
Спектралната последователност (6.4) се дегенерира и локално.
Спектралните последователности, като най-мощният апарат за изучаване на производни функтори, апроксимират хомологичните групи на група по хомологичните групи на нейната подгрупа и коефициент.
Спектралната последователност на Atiyah-Hirzebruch тук се дегенерира само за комплекси X, чиято хомология е без усукване; в този случай обаче е възможно нетривиално закрепване на пръстеновидната структура.
Спектралната последователност, съответстваща на тази точна двойка, се нарича спектрална последователност на Адамс.
Спектралната последователност за състава на морфизмите показва, че K0 е ковариатен функтор за правилните морфизми.
Подобна спектрална последователност съществува в единична хомология.
Спектралната последователност на снопа не зависи (до изоморфизъм) от това как основата е разделена на клетки.
Спектралната последователност на информацията за това не ни дава.
Спектралната последователност на произволна непрекъсната карта p: X - Y е изследвана от Дюевел [202], който дефинира, при много общи предположения, понятието характеристични класове на картата p и показва връзката между тези класове и диференциалите на спектрална последователност.
Неговата спектрална последователност е подредена по следния начин.
Методът на спектралните последователности, открит за първи път от Leray (средата на 40-те години) за непрекъснати картографирания и по-специално за снопове, е от основно значение сред ефективните средства за хомологична алгебра и позволява, по-специално, да се извърши широкообхватно изчисление на хомологията на редица пространства, а не, задълбочавайки се в тяхната геометрична природа в детайли.
Анализ на спектралните последователности на тези снопове показва, че за η N ограничението Hn (Xa 1; K) - H (Xc; K) е изоморфизъм. Не е ясно дали така определените групи съвпадат с обичайните чеховски групи кохомологии на пространството XQ в случая, когато пространството е XX. Q не е паракомпактен, но тъй като няма да срещнем такъв случай, няма да разследваме този въпрос.
Помислете за спектралната последователност, генерирана от това филтриране.
Помислете за спектралната последователност на пространството E, генерирано от това филтриране.

Помислете за кохомологичната спектрална последователност.
Съответните спектрални последователности имат много различни приложения.
Звездите от началото на спектралната последователност, които са по-горещи от звездите от клас АО, дават водородни линии с по-нисък интензитет, тъй като степента на йонизация се увеличава.
Умножението в спектралната последователност ще бъде в съответствие с умножението, което може да бъде въведено в E & и в E oa в съответствие с теоремата на Leray.
Умножението в спектралната последователност на сноп първо се въвежда и за произведението на два равни снопа.
Възниква хомоморфизъм на спектралните последователности на двата снопа.
Използвайки спектралната последователност на Айленберг-Мур, получаваме описание на когомологичния пръстен Zp по отношение на лицевия пръстен k (P), както и редица допълнителни резултати по тези когомологии в случая, когато има най-малко един квазиторичен многообразие над политоп П. В този раздел приемаме, че k е поле.
Отново в спектралната последователност на Serre на снопа X - XG-BG всички диференциали са равни на 0, тъй като терминът E H (BG) αH (X) не съдържа елементи с нечетни степени.
Изчислете - спектралната последователност за трикратното филтриране и докажете, че получената последователност е еквивалентна на точната последователност на тройката.
Симулирайте сингулярностите на спектралната последователност на снопа по същия начин, както комплексът на Морс моделира хомологичния комплекс: свържете геометрични обекти с диференциали и получете Морсови неравенства - съществуването на някои особености (и долни граници за определени характеристики на тези особености) в термини на диференциалите на спектралната последователност.

Сега разглеждаме спектралната последователност на Айленберг-Мур на снопа p: BTP - BT с влакно ZP. С оглед на неравенството (14) получаваме E% E, което доказва нашата теорема.
Тези хомологии и спектрални последователности зависят функционално от K.
Имаме две спектрални последователности. Долният ред във втория член на една спектрална последователност е bt/U D, във втория член на друга последователност - това, което трябва да е равно на H (BjZ &) по теоремата на Борел.
Диференциалът d1 на нашата спектрална последователност преобразува генератора от групата E g към удвоения генератор E, преобразува генератора E - j към удвоения генератор E и действа тривиално върху останалите групи Erd.
А е хомоморфизмът на спектралните последователности, индуцирани от диагоналната карта на сноповете.

Мултипликативната структура в спектралната последователност на Leray възниква от кохомологично умножение и това е естествено, тъй като всички групи, включени в спектралната последователност, са групи от кохомологии и техните подгрупи. Групите, които изграждат спектралната последователност на Адамс, са хомотопични групи и техните подгрупи.
Помислете за термина E на спектралната последователност на Leray-Serre на дадения пакет.
LERE SPECTRAL SEQUENCE, спектралната последователност на непрекъснатото картографиране е спектрална последователност, която свързва кохомологиите със стойностите в снопът на абелевите групи - по топологията.
Единственият диференциал d1 на нашата спектрална последователност, който може да се окаже нетривиален, действа между тези клетки; това е точно граничният хомоморфизъм H3 ((82) 2, S2; R) - Hz (S2, R) - От формата на генератора на първата от тези групи (т.е. от дефиницията на множеството (i 2) в B (S2, 2)) веднага следва, че този диференциал е изоморфизъм. Това предполага нашата лема.
Следвайки обичайната процедура за конструиране на спектрална последователност върху пространство с филтрация, получаваме спектралната последователност на Serre на нашия сноп, който е основният инструмент за изследване на кохомологични или хомологични връзки между основата, влакното и пространството на снопа.
Тогава очевидно възниква хомоморфизъм на спектрални последователности (хомологични), т.е. всички групи X E Y - - YE се картографират. Тези хомоморфизми комутират с диференциали и следователно всички свойства на тези групи комутират с хомоморфизми. Същото важи и за когомологичните спектрални последователности, само стрелката е насочена в обратната посока.
Един от начините за конструиране на спектралната последователност на теорема 4.1 е да се напише (1.5) под формата на двойка къси точни последователности, да се разгледат възникващите дълги точни последователности на кохомологични групи и да се използва елементарно схематично търсене. Същото диаграмно търсене позволява, разбира се, да се докаже всичко, което се извежда от спектралната последователност.
Следователно, терминът E на спектралната последователност на теорема 4.1 е точно същият, както в случая на теорема 5.1, където L е тривиална.
В този случай спектралната последователност на Serre отново не съдържа ненулеви диференциали, което може да се види просто от съображения за измерението.
Да предположим, че сме конструирали спектралните последователности на Адамс за пространствата X и x, и /: X - - X е някакво картографиране.
Това дава (въз основа на съответната спектрална последователност) определена информация за групата nn 1 (X), която в много случаи позволява тя да бъде изчислена напълно. В съвременния си вид тези изчисления се основават и на концепцията за локализация.
Започвайки от термина Е2, тази спектрална последователност е естествена.
По този начин, ние получихме, че спектралната последователност на С-комплекс, филтриран от неговите скелети (и разглеждана над всяка група на абелови коефициенти) е тривиална.
А) и следователно спектралната последователност Er r 2 имат функториалното свойство.
Тъй като всички диференциали от първия член на тази спектрална последователност са равни на нула и ние разглеждаме втория член, тогава D е диференциален оператор от втори ред. За да намерим D, процедираме по следния начин.

Обикновено в приложения първо се доказва съществуването на спектрална последователност и след това E се изчислява, като се използва Em като последователни приближения. Тъй като (5.4) и (5.5) важат за rjk, веднага получаваме [вж.
Оказва се, че самият факт на съществуването на спектрална последователност от снопове по смисъла на Serre носи достатъчно количество информация, което позволява в някои случаи да се изчислят напълно хомологичните групи. Разбира се, няма много много такива случаи, но те много убедително илюстрират силата на този метод.
В зависимост от геометрията и разглежданите снопове, спектралната последователност дава правилните отношения между тези групи кохомологии (вж. В останалата част на тази статия ще проучим различни специални случаи - трансформации.
Най-общо казано, условията на спектралната последователност на Leray след H2 са изключително трудни за изчисляване. Терминът E2 обаче вече дава точно описание на ролята, която играе системата от коефициенти R.
Уместно е тук да кажем няколко думи за връзката между спектралната последователност на непрекъснато картографиране от първия тип и спектралната последователност на Leray. Първоначалното появяване на първата спектрална последователност в ситуацията на кратно-множествени и след това нулеви размерни карти не е случайно. А именно може да се докаже (виж например [39]), че спектралната последователност на Leray в този случай (поне за затворени отображения) се дегенерира и следователно е безполезна в посочените ситуации. Напротив, първата спектрална последователност в посочените ситуации може да се окаже полезна, макар и само защото в конкретния случай на картографиране върху факторното пространство по отношение на свободното действие на крайна група съвпада със спектралната последователност на Картан-Гротендик.