СЕДЕМ СТРАХОТНИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИ

// Електротехник. - 2008. - No 2. - С. 45-47.

Б.А. Трубников, О.Б. Трубникова

Институт по ядрен синтез, RRC "Институт Курчатов"

Институт по биология на развитието на Н. К. Колцов РАН

Показано е, че всичките седем основни разпределения на естествените частици: 1) Fermi - Dirac (FD); 2) Бозе - Айнщайн (BE); 3) Дъска (Pl); 4) Bloch (Bl за фонони); 5) Максуел-Болцман (MB); 6) Gauss (Ha) и 7) разпределението на конкурентите - получено само от две букви ( м, н ) чрез еднороден комбинаторен метод и трик на Лагранж с изискването за максимална ентропия при две допълнителни условия, а техните спектри съдържат само два параметъра. Тази еднаквост и общност позволява разпределението на състезателите да се счита за основателно в математически смисъл, както и останалите шест класически физически разпределения.

1. Нека си припомним основните разпоредби на статистическата физика и първо да разгледаме шест физически разпределения. Чифт числа N, К ще се нарича "малък комплект". Както е известно, н фермиони могат да бъдат поставени един по един по протежение на K > N състояния по няколко начина, равни на биномния коефициент. За бозони имаме. За частиците на Максуел - Болцман (Maxwellons) при К >> N може да се постави приблизително и след това; и за Bloch фонони при н >> К имаме приблизително и след това. Ако приемем, че всички числа са големи и използвайки формулата на Стърлинг, както и въвеждане на средния брой частици n = N/К в едно състояние записваме броя на начините като, където функциите fi = fi (н ) са равни съответно:

(един)

Номер C i наречена статистическа тежест на държавата, и неговия логаритъм С = lnC i = К lnfi наречена ентропия. И равновесието се постига, когато числата C i са максимални, а оттам и ентропията S .

2. Освен това приемаме, че пълният набор (система) се състои от независими "малки множества" и тогава статистическото тегло на системата е равно на произведението на статистическите тегла на всички малки множества. На този етап на малките набори трябва да се присвои индекс m, заместване. Тогава общата ентропия ще бъде записана като сбор от ентропиите на малките множества

С =. (2)

Изискването за неговия максимум трябва да бъде изпълнено при две допълнителни условия: когато общата енергия на системата и общият брой на частиците се считат за дадени. За това, използвайки метода на Лагранж, съставяме комбинация и уравненията дават връзки. Лесно е да се провери, че замествайки тук функции (1), получаваме съответните разпределения

. (3)

Гаусовото разпределение (пето) може да се получи от едномерния газ на Максуел - Болцман, а шестото фотонно разпределение - от разпределението на Бозе - Айнщайн при нулев химичен потенциал (β = 0).

И така, получихме всичките шест физически разпределения, първо анализирайки малки множества с чифт числа ( н, К ) чрез присвояване на индекса m средно и след това да се вземе предвид „големият набор“ с общата ентропия.

3. За да се получи разпределението на конкурентите, човек трябва да поеме по обратния път. Първо, въвеждаме „голям набор“, за който се приема статистическото тегло (броят на възможните начини за поставяне на набор от обекти в групи)

, B =, G =. (4)

Използвайки формулата на Стърлинг, получаваме продуктите

B =, B =, G =, където b =, (5)

Където д Е основата на естествените логаритми. Тогава броят на начините C се записва като

, където. (пет)

Така че статичното тегло на "големия набор" е равно на произведението на статистическите тегла на "малките комплекти", както е случаят в шест физически множества. И, по аналогия с тях, неговия логаритъм

, където (6)

ще наречем ентропия на населението голям набор от конкуренти, и См - ентропията на популацията на малък набор от конкуренти. Вместо дума състезател може да се използва терминът получател - получател на дял от някакъв "ресурс". Освен това, използвайки метода на Лагранж, съставяме комбинация и уравнение. В случай на ресурс, това дава диференциалния и интегрален спектър на конкурентите:

, . (7)

В лимита получаваме приблизителна формула, която се нарича „законът на Парето-Ципф-Кудрин“ (Б. И. Кудрин е създателят на науката за техниката за техноценозите). Той има огромен брой приложения (виж [1–3], но се различава в областта на малките стойности на m, така че да се вземе предвид граничната степен в спектрите (7) по принцип винаги е необходимо. Пример за проява на съкращаващия показател е масовото разпределение на ембрионалните ооцити на жабата на етапа на растежа им, получено за първи път от О. Б. Трубникова и показано на фигурата.

1. Трубников Б.А., Трубникова О. Б. Пет големи вероятностни разпределения // Природа. 2004. No 11. с. 13.

2. Трубников Б. А., Трубникова О. Б. Теория на конкуренцията // Книга на резюметата от 13-ти ген. Conf. на Eur. Физ. Soc. EPS-13 Берн, Швейцария, 11-15 юли 2005 г. Поканен доклад BR6-4-THU. R.119.

3. Ричард Кох. Принципът 80/20/Per. от английски Кестен. Минск: Издателство „Попури“, 2004.