Рязане и сгъване

а) Нарежете произволен триъгълник на няколко парчета, така че да могат да бъдат сгънати в правоъгълник.
б) Нарежете произволен правоъгълник на няколко парчета, така че квадрат да може да се сгъне от тях.
в) Нарежете два произволни квадрата на няколко парчета, така че един голям квадрат да може да бъде сгънат от тях.

Съвет 1

б) Първо направете правоъгълник от произволен правоъгълник, като съотношението на по-голямата страна към по-малката страна не надвишава четири.

в) Използвайте питагорейската теорема.

Съвет 2

а) Начертайте височината или централната линия.

б) Поставете правоъгълник на квадрата, който трябва да се получи, и нарисувайте "диагонал".

в) Прикрепете квадратите един към друг, отстрани на по-големия квадрат, измерете сегмент, равен на дължината на по-малкия квадрат, след това го свържете с „противоположните“ върхове на всеки от квадратите (вижте фиг. 1).

а) Нека бъде даден произволен триъгълник ABC. Нека нарисуваме средната линия MN успоредно на страната AB, и в получения триъгълник CMN намалете височината CD. Освен това се отпускаме по права линия MN перпендикуляри АК и BL. Тогава е лесно да се види това ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN като правоъгълни триъгълници със същата двойка страни и двойка ъгли.

Оттук и методът за изрязване на даден триъгълник и след това пренареждане на парчетата. А именно, нека направим разрези по сегментите MN и CD. След това преместваме триъгълниците CDM и CDN на мястото на триъгълници AKM и BLN съответно, както е показано на фиг. 2. Получихме правоъгълник AKLB, както се изисква в задачата.

Имайте предвид, че този метод няма да работи, ако един от ъглите ТАКСИ или CBA - глупаво. Това се дължи на факта, че в този случай височината CD не лежи вътре в триъгълника CMN. Но това не е твърде страшно: ако нарисуваме средната линия, успоредна на най-дългата страна на оригиналния триъгълник, тогава в отрязания триъгълник ще намалим височината от тъп ъгъл и тя непременно ще лежи вътре в триъгълника.

б) Нека се даде правоъгълник ABCD, чиито страни От н.е. и AB са равни а и б съответно и а > б. Тогава площта на квадрата, която искаме да получим накрая, трябва да бъде равна на аб. Следователно страничната дължина на квадрата е √аб, което е по-малко от От н.е., но повече от AB.

Да построим квадрат APQR, равна на желаната, така че точката Б. лежи на сегмента AP, но точка R - на сегмента От н.е.. Нека бъде PD пресича сегменти Пр.н.е. и QR в точки М и н съответно. Тогава е лесно да се види, че триъгълниците PBM, PAD и NRD са подобни и освен това, BP = (√аб - б) и RD = (а - √аб). Означава,

Следователно, ∆PBM = ∆NRD от двете страни и ъгъла между тях. Също така е лесно да се изведат равенствата оттук PQ = MC и NQ = CD, и оттам ∆PQN = ∆MCD също от двете страни и ъгъла между тях.

Методът на рязане следва от всички по-горе разсъждения. Точно, първо оставяме отстрани отстрани От н.е. и Пр.н.е. сегменти AR и СМ, чиито дължини са равни на √аб (за това как да се конструират сегменти от формата √аб, вижте задачата „Редовни полигони“ - странична лента в раздела „Резолюция“). След това възстановяваме перпендикуляра на сегмента От н.е. в точката R. Сега остава само да отсечем триъгълниците MCD и NRD и ги пренаредете, както е показано на фиг. 3.

Имайте предвид, че за да използвате този метод, се изисква точката М завърши вътре в сегмента BK (иначе не целия триъгълник NRD съдържащи се в правоъгълник ABCD). Тоест, необходимо е това

Ако това условие не е изпълнено, първо трябва да направите този правоъгълник по-широк и по-кратък. За да направите това, достатъчно е да го разрежете наполовина и да изместите парчетата, както е показано на фиг. 4. Ясно е, че след такава операция съотношението на по-голямата страна към по-малката ще намалее четири пъти. Така че, правейки го достатъчно голям брой пъти, в крайна сметка ще получим правоъгълник, към който изрязването от фиг. 3.

в) Помислете за два дадени квадрата ABCD и DPQR, прикрепяйки ги един към друг, така че да се пресичат отстрани CD по-малък квадрат и имаше общ връх д. Ще приемем това PD = а и AB = б, освен това, както вече отбелязахме, а > б. След това отстрани ДР по-голям квадрат, можете да помислите за такава точка М, Какво Г-Н = AB. По теоремата на Питагор .

Нека линиите, преминаващи през точките Б. и Въпрос: успоредна права MQ и BM съответно се пресичат в точката н. След това четириъгълникът BMQN е успоредник и тъй като всички страни от него са равни, това е ромб. Но ∆БАМ = ∆MRQ от три страни, откъдето следва (като се има предвид, че ъглите БАМ и MRQ прави линии), че. Поради това, BMQN - квадрат. И тъй като площта му е (а 2 + б 2), тогава това е точно квадратът, който трябва да получим.

За да се пристъпи към рязане, остава да се отбележи, че ∆БАМ = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. След това това, което трябва да се направи, става очевидно: необходимо е да се отрежат триъгълниците БАМ и MRQ и ги пренаредете, както е показано на фиг. пет.

Послеслов

След като реши предложените проблеми, читателят, съвсем евентуално, ще се замисли върху следния въпрос: кога като цяло един даден полигон може да бъде изрязан с прави линии в краен брой такива парчета, от които е съставен друг даден полигон? С малко размисъл той ще разбере, че е необходимо поне площите на тези полигони да са равни. По този начин първоначалният въпрос се превръща в следното: вярно ли е, че ако два полигона имат една и съща площ, тогава единият от тях може да бъде нарязан на парчета, от които се добавя вторият (това свойство на два полигона се нарича ножица-конгруентност) ? Оказва се, че това наистина е така и теоремата на Бояи-Гервин, доказана през 30-те години на XIX век, ни казва за това. По-точно формулировката му е следната.

Теорема на Бояи-Гервин. Два полигона са равни по размер, ако и само ако са равни.

Идеята зад доказателството за този забележителен резултат е следната. Първо, няма да докажем твърдението на самата теорема, а фактът, че всеки от двата дадени еднакви по размер полигони може да бъде нарязан на парчета, които събират квадрат от една и съща площ. За да направите това, първо разделяме всеки от многоъгълниците на триъгълници (такъв дял се нарича триангулация). И тогава превръщаме всеки триъгълник в квадрат (например, използвайки метода, описан в точки а) и б) от този проблем). Остава да добавим един голям от голям брой малки квадратчета - можем да направим това благодарение на точка в).

Подобен въпрос за многогранниците представлява един от известните проблеми на Дейвид Хилберт (третият), представен от него в лекция на II Международен конгрес на математиците в Париж през 1900 година. Характерно е, че отговорът е отрицателен. Вече разглеждането на два такива най-прости полиедра като куб и правилен тетраедър показва, че нито един от тях не може да бъде нарязан на краен брой части, така че другият да е съставен от тях. И това не е случайно - такова изрязване просто не съществува.

Решението на третия проблем на Хилберт е получено от един от неговите ученици, Макс Ден, още през 1901г. Dehn открива инвариантно количество, което не се променя, когато многогранниците се нарязват на парчета и се добавят нови форми от тях. Тази стойност обаче се оказа различна за някои многогранници (по-специално куб и правилен тетраедър). Последното обстоятелство ясно показва факта, че тези многогранници не са ножично конгруентни.