Алгебричен пръстен

Значението на думата "пръстен алгебричен"

Пръстен алгебрична, една от основните концепции на съвременната алгебра. Най-простите примери за К. са следните системи (набори) от числа, разгледани заедно с операциите на събиране и умножение: 1) множеството от всички положителни, отрицателни и нулеви цели числа; 2) множеството от всички четни числа и като цяло цели числа, които са кратни на дадено число n, 3) множеството от всички рационални числа. Общото между тези три примера е, че добавянето и умножаването на числата, включени в системата, не изважда от системата (трябва да се отбележи, че изваждането не извежда и от системата). В различни области на математиката човек често трябва да се занимава с различни набори (те могат да се състоят например от полиноми или матрици, вижте примери 7 и 9), върху чиито елементи могат да бъдат изпълнени две операции, които са много сходни по своите свойства на събиране и умножение на обикновени числа. Предметът на теорията на К. е изучаването на свойствата на обширен клас множества от този вид.

Пръстенът е непразен набор R, за елементите на който са дефинирани две операции - събиране и умножение, съвпадащи с всеки два елемента a, b от R, взети в определен ред, един елемент a + b от R е тяхната сума и един елемент ab от R е тяхното произведение и се приема, че са изпълнени следните условия (аксиомите на К.):

I. Комутативност на добавянето:

II. Асоциативност на добавянето:

III. Обратимост на събирането (възможност за изваждане): уравнението a + x = b допуска решението x = b - a.

Изброените свойства показват, че елементите на К. образуват комутатив група относно добавянето. Допълнителни примери за К. могат да служат като набор; 4) всички реални числа; 5) всички комплексни числа; 6) комплексни числа от формата a + bi с цели числа a, b; 7) полиноми в една променлива x с рационални, реални или комплексни коефициенти; 8) всички функции, които са непрекъснати на даден сегмент от числовата линия; 9) всички квадратни матрици от порядък n с реални (или сложни) елементи; 10) всички кватерниони; 11) всички числа на Кейли - Диксън, т.е. изрази от формата a + b e, където a, b са кватерниони, e е буква; събиране и умножение на числата на Cayley - Dixon се определят от равенствата (a + b е) + (a1 + b1 e) = (a + a 1) + (b + b 1) e, (a + b е) (a1 + b 1e) = (aa 1 - b 1) + (aa 1 + b) e, където е кватернионът, свързан с a; 12) всички симетрични матрици от порядък n с реални елементи по отношение на операциите на добавяне на матрица и умножение "Йордания" a · b = (ab + ba); 13) вектори на триизмерното пространство в обичайното събиране и умножение на вектори.

В много случаи се налагат допълнителни ограничения върху умножението в К. Така че, ако a (bc) = (ab) c, тогава K. се нарича асоциативна (примери 1-10); ако равенствата (aa) b = a (ab), (ab) b = a (bb) се държат в пръстен, тогава той се нарича алтернативен пръстен (Пример 11); ако равенствата ab = ba, (ab) (aa) = ((aa) b) задържане в K., тогава се нарича Йорданов пръстен (Пример 12); ако равенствата a (bc) + b (ca) + c (ab) = 0, a 2 = 0 се задържат в K., тогава се нарича пръстен на Lie (Пример 13); ако ab = ba, тогава K. се нарича комутативна (Примери 1-8, 12). Операциите на събиране и умножение в К. в много отношения са сходни по своите свойства със съответните операции с числа. По този начин елементите на К. могат не само да се добавят, но и да се изваждат; има елемент 0 (нула) с обичайните свойства; за всеки елемент a има противоположен, т.е. елемент - a такъв, че a + (- a) = 0; произведението на всеки елемент по елемент 0 винаги е нула. Примери 8-9, 12-13 обаче показват, че К. може да съдържа ненулеви елементи a, b, чието произведение е равно на нула: ab = 0; такива елементи се наричат ​​делители на нула. Асоциативна комутативна К. без делители на нула се нарича област на целостта (примери 1-7). Точно както в полето на цели числа, не всички К. могат да разделят един елемент на друг, но ако това е възможно, т.е. ако уравненията ax = b и ya = b са винаги разрешими за a ¹ 0, тогава K. е наречен тялото (примери 3-5, 10, 11). Асоциативно комутативно тяло обикновено се нарича поле (примери 3-5) (вж. Поле алгебричен). Доста важни за много клонове на алгебра са полиномите с една или повече променливи над произволно поле и матрици на матрици над асоциативни тела, които се определят подобно на теорията на примери 7 и 9. Много класове на К. все по-често намират приложение извън алгебра. Най-важните от тях са: К. функции и К. оператори, които изиграха голяма роля в развитието на функционалния анализ; алтернативни тела, използвани в проективната геометрия; така наречените диференциални К. и полета, което отразява интересен опит за прилагане на теорията на К. към диференциални уравнения.

При изследването на К. е от голямо значение един или друг начин за сравняване на различни К. Един от най-плодотворните е хомоморфно картографиране (хомоморфизъм), т.е. еднозначно картографиране R ® R 'на пръстен R върху пръстен R ', така че ® a ", b ® b", следва a + b ® a "+ b" и ab ® a'b ". Ако това картографиране също е едно към едно, то то се нарича изоморфизъм, а пръстените R и R 'са изоморфни. Изоморфните К. имат същите алгебрични свойства.

Набор M от елементи на пръстен R се нарича подбринг, ако самият M е K. по отношение на операциите, дефинирани в R. Подбринг M се нарича ляв (десен или двустранен) идеал на пръстена R, ако за някакви елементи m от M и r от R, продуктът rm (съответно mr или и двете rm и mr) се намира в М. Елементите a и b на пръстена R се считат за сравними по отношение на идеалния M, ако a - b принадлежи на M Всички К. са разделени на класове на съпоставими елементи - класове остатъци по идеал М. Ако дефинираме събиране и умножение на класове остатъци по отношение на двустранен идеал М чрез събиране и умножение на елементи от тези класове, тогава остатъкът самите класове образуват K. - факторният пръстен R/M на пръстена R по протежение на идеалния М. Теоремата за хомоморфизма на K. важи: ако всеки елемент на K. е свързан с класа, съдържащ го, тогава получаваме хомоморфно картографиране на пръстена R върху факторния пръстен RM; обратно, ако R е картографирано хомоморфно върху R ', тогава множеството елементи от R, които съответстват на нула на пръстена R' е двустранен идеал в R, а R 'е изоморфно на R/M.

Сред различните видове К. т. Нар. Алгебри са по-лесни за изучаване от други и сравнително по-често се използват от т. Нар. Алгебри: пръстен R се нарича алгебра над поле P, ако за всяко a от P и r от R продукт ar също е дефиниран от R и (a + b) r = ar + br, a (r + s) = ar + като, (ab) r = a (br), a (rs) = (ar) s = r (as), er = r за всяко a, b от P и r, s от R, където e е единицата на полето P. Ако всички елементи на алгебрата са линейно изразени чрез n линейно независими елементи (вж. Линейна зависимост), тогава R се нарича алгебра с краен ранг n или хиперкомплексна система (вж. Хиперкомплексни числа). Примери за алгебри са комплексни числа (алгебра от ранг 2 над полето на реалните числа), пълната К. на матрици с елементи от полето P (което е алгебра от ранг n 2 над P), К. Пример 10 ( алгебра от ранг 4 над полето на реалните числа), К. пример 8 и т.н.

За цели числа и полиноми е валидна теоремата за уникалната разлагаемост на елемент в произведение на прости числа, т.е. допълнителни неразложими елементи. Тази теорема е вярна за всички фундаментални идеали, т.е. области на целостта, в които всеки идеал се състои от кратни единици. Специален случай на такива К. са евклидовите К., т.е. К., където всеки елемент a ¹ 0 съответства на неотрицателно цяло число n (a), освен това n (ab) ³ n (a) и за всеки a и b ¹ 0 съществуват такива q и r, че a = bq + r и или n (r)

Колцов Алексей Василиевич Колцов Алексей Василиевич [3 (15) .10.1809, Воронеж, - 29.10 (10.11) .1842, пак там], руски поет. Роден в семейството на воронежска буржоазия, търговец на добитък. От детството си участва в.

Колцов Михаил Ефимович Колцов (псевдоним; истинско име Фридлянд) Михаил Ефимович [31.5 (12.6). 1898 - 4.4.1942], руски съветски писател, журналист, общественик, член-кореспондент на Академията на науките на СССР (193.

Колцов Николай Константинович Колцов Николай Константинович [3 (15) .7.1872, Москва, - 2.12.1940, Ленинград, погребан в Москва], съветски биолог, основател на експерименталната биология в Русия и СССР, член-кореспондент.