Решаване на задачата за изучаване на функции и нанасяне на графики
Когато изучавате дадена функция y = f (x) и начертавате нейната графика, е необходимо да се ръководите от следния алгоритъм:
Изследване на функцията y = f (x) по нейния външен вид.
- Намерете домейна на функция.
- Проверете функцията за четен/нечетен паритет.
- Намерете точките на пресичане на графиката на функция с координатните оси (така наречените нули на функцията).
- Намерете точките на прекъсване на дадена функция и определете тяхното естество.
- Намерете асимптотите на графиката на функция.
пет *. Ако функцията съдържа тригонометрични компоненти, е необходимо да се изследва нейната честота.
Изследване на функцията y = f (x) в първата производна.
- Определете интервалите на увеличаване, намаляване и екстремуми на функцията.
Изследване на функцията y = f (x) във втората производна.
- Определете интервалите на изпъкналост, вдлъбнатина и точки на огъване на графиката на функция, намерете стойностите на функцията в точките на огъване.
Начертаване на функцията y = f (x).
- Начертайте характерни точки на координатната равнина и, използвайки резултатите от изследването на функцията, изградете нейната графика. Ако външният вид на графиката след изследването е трудно да се определи, тогава е необходимо да се вземат няколко контролни точки.
Коментирайте. Трябва да се търси домейнът на функция, като се използват известните свойства на елементарните функции, например следното:
- Функцията е недефинирана за стойности на аргумента x, за които g (x) = 0.
- Дори корените (и т.н.) са дефинирани само за неотрицателни стойности на радикалния израз ().
- Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни x стойности (x> 0).
- Функциите y = arcsinx и y = arcosx са дефинирани само за .
Пример 1: Проучете функцията и я начертайте.
- Функцията е дефинирана за всички. (вижте бележките към алгоритъма за изследване).
- Намерете y (-x): тази функция не е нито четна, нито нечетна.
- Намерете пресечните точки на функционалната графика с координатните оси:
Ако тогава, тоест графиката на функцията пресича оста O в точката A (0, -4).
Ако, тогава намираме от уравнението. Тоест, графиката на функцията пресича оста Ox в точки B (1.0), C (-2.0).
- Дадената функция е непрекъсната във всички точки на числовата ос като полином от трета степен.
- Графиката на функцията няма вертикални асимптоти, тъй като дадената функция е непрекъсната по цялата числена ос.
Графиката на функциите няма хоризонтални асимптоти, тъй като:
Определете дали графиката на функцията има наклонени асимптоти:
Следователно наклонът на наклонената асимптота не е краен и графиката на функцията на такава асимптота няма.
- Нека разгледаме дадената функция за увеличаване, намаляване и екстремуми.
Нека намерим първата производна:
Нека приравним производната към нула и решим полученото уравнение:
Нека намерим интервалите на постоянство на първата производна:
Така че функцията:
- се увеличава на интервали
- намалява на интервала
- в точката има максимум ();
- в точката има минимум ().
- Нека дефинираме интервалите на изпъкналост, вдлъбнатина и точки на огъване на графиката на функцията.
Нека намерим втората производна:
Нека приравним производната на нула и решим полученото уравнение:
Нека намерим интервалите на постоянство на второто производно:
Така че кривата:
- изпъкнал на интервала
- вдлъбнат на интервала
Точка - точка на огъване ().
- Ще нарисуваме характерни точки на координатната равнина и, използвайки получените резултати от изследването на функцията, ще начертаем нейната графика.
Коментирайте. За улеснение на конструкцията можете да комбинирате получените резултати в таблица:
- Изчисляване на движението на елементи на механична система, Лекции и примери за решаване на задачи по механика
- Сложно движение на точка, Лекции и примери за решаване на задачи в механиката
- Примери за решения на проблеми в материалознанието
- Решаване на проблеми при изчисляване на масата или обема на реакционния продукт от известна маса или обем
- Отговорности и функции на производителя на брошури, задачи и цели, необходими умения, средна заплата