Решаване на задачата за изучаване на функции и нанасяне на графики

Когато изучавате дадена функция y = f (x) и начертавате нейната графика, е необходимо да се ръководите от следния алгоритъм:

Изследване на функцията y = f (x) по нейния външен вид.

  1. Намерете домейна на функция.
  2. Проверете функцията за четен/нечетен паритет.
  3. Намерете точките на пресичане на графиката на функция с координатните оси (така наречените нули на функцията).
  4. Намерете точките на прекъсване на дадена функция и определете тяхното естество.
  5. Намерете асимптотите на графиката на функция.

пет *. Ако функцията съдържа тригонометрични компоненти, е необходимо да се изследва нейната честота.

Изследване на функцията y = f (x) в първата производна.

  1. Определете интервалите на увеличаване, намаляване и екстремуми на функцията.

Изследване на функцията y = f (x) във втората производна.

  1. Определете интервалите на изпъкналост, вдлъбнатина и точки на огъване на графиката на функция, намерете стойностите на функцията в точките на огъване.

Начертаване на функцията y = f (x).

  1. Начертайте характерни точки на координатната равнина и, използвайки резултатите от изследването на функцията, изградете нейната графика. Ако външният вид на графиката след изследването е трудно да се определи, тогава е необходимо да се вземат няколко контролни точки.

Коментирайте. Трябва да се търси домейнът на функция, като се използват известните свойства на елементарните функции, например следното:

  1. Функцията е недефинирана за стойности на аргумента x, за които g (x) = 0.
  2. Дори корените (и т.н.) са дефинирани само за неотрицателни стойности на радикалния израз ().
  3. Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни x стойности (x> 0).
  4. Функциите y = arcsinx и y = arcosx са дефинирани само за .

Пример 1: Проучете функцията и я начертайте.

  1. Функцията е дефинирана за всички. (вижте бележките към алгоритъма за изследване).
  2. Намерете y (-x): тази функция не е нито четна, нито нечетна.
  3. Намерете пресечните точки на функционалната графика с координатните оси:

Ако тогава, тоест графиката на функцията пресича оста O в точката A (0, -4).

Ако, тогава намираме от уравнението. Тоест, графиката на функцията пресича оста Ox в точки B (1.0), C (-2.0).

  1. Дадената функция е непрекъсната във всички точки на числовата ос като полином от трета степен.
  2. Графиката на функцията няма вертикални асимптоти, тъй като дадената функция е непрекъсната по цялата числена ос.

Графиката на функциите няма хоризонтални асимптоти, тъй като:

Определете дали графиката на функцията има наклонени асимптоти:

Следователно наклонът на наклонената асимптота не е краен и графиката на функцията на такава асимптота няма.

  1. Нека разгледаме дадената функция за увеличаване, намаляване и екстремуми.

Нека намерим първата производна:

Нека приравним производната към нула и решим полученото уравнение:

Нека намерим интервалите на постоянство на първата производна:

Така че функцията:

- се увеличава на интервали

- намалява на интервала

- в точката има максимум ();

- в точката има минимум ().

  1. Нека дефинираме интервалите на изпъкналост, вдлъбнатина и точки на огъване на графиката на функцията.

Нека намерим втората производна:

Нека приравним производната на нула и решим полученото уравнение:

Нека намерим интервалите на постоянство на второто производно:

Така че кривата:

- изпъкнал на интервала

- вдлъбнат на интервала

Точка - точка на огъване ().

  1. Ще нарисуваме характерни точки на координатната равнина и, използвайки получените резултати от изследването на функцията, ще начертаем нейната графика.

Коментирайте. За улеснение на конструкцията можете да комбинирате получените резултати в таблица: