Лекция номер 7. Самолетно напрегнато състояние

Лекция № 7. Самолетно напрегнато състояние Лекция № 7. Самолетно напрегнато състояние
Нека разгледаме случая на равнинно напрежено състояние, което е важно за приложенията, което се реализира например в равнината на Oyz. Тензорът на напрежението в този случай има формата

Геометрична илюстрация е показана на фиг. 1. В този случай областите x = const са главни със съответстващи нула главни напрежения. Инвариантите на тензора на напрежението са равни и характеристичното уравнение приема формата

Корените на това уравнение са

(един)
Корените са номерирани за случая

Фиг. 1. Начално равнинно напрежено състояние.

Фиг. 2. Положение на основните напрежения

Произволна площ се характеризира с ъгъл на фиг. 1, докато векторът n има компоненти:, nх = 0. Нормалните и напречните напрежения върху наклонена платформа се изразяват чрез ъгъла, както следва:

(3)
Тъй като няма тангенциално напрежение на основните места, приравнявайки израз (3) на нула, получаваме уравнение за определяне на ъгъла между нормалното n и оста Oy

(4)
Най-малкият положителен корен от уравнение (4) се обозначава с. Тъй като tg (x) е периодична функция с период, имаме две взаимно ортогонални посоки, съставляващи ъглите и с оста Oy. Тези посоки съответстват на взаимно перпендикулярни основни области (фиг. 2).

Ако разграничим съотношението (2) по отношение и изравним производната на нула, тогава стигаме до уравнение (4), което доказва крайността на главните напрежения.
За да намерим ориентацията на областите с екстремни тангенциални напрежения, приравняваме на нула производната на израза
,
откъде стигаме

Сравнявайки отношенията (4) и (5), откриваме, че

Това равенство е възможно, ако ъглите и се различават с ъгъл. Следователно посоките на местата с екстремни напрежения на срязване се различават от посоките на основните места с ъгъл (фиг. 3).

Фиг. 3. Изключително напрежение на срязване

Стойностите на екстремните тангенциални напрежения се получават след заместване (5) на отношение (3) с помощта на формулите
.
След някои трансформации получаваме

Сравнявайки този израз с получените по-рано стойности на главните напрежения (2.21), ние изразяваме крайните напрежения на срязване по отношение на основните напрежения

Подобно заместване в (2) води до израз на нормалните напрежения на места с

Получените съотношения позволяват да се направи насочено ориентиран анализ на якостта на конструкциите в случай на плоско напрегнато състояние.

ТЕНЗОР ЗА ДЕФОРМАЦИЯ
Нека първо разгледаме случая на плоска деформация (фиг. 4). Оставете плоския елемент MNPQ да се движи в равнината и да се деформира (променя формата и размера). Координатите на точките на елементите преди и след деформация са отбелязани на фигурата.

Фиг. 4. Плоска деформация.

По дефиниция относителната линейна деформация в точка М по посока на оста Ox е

Фиг. 4 следва

Като вземем предвид, че MN = dx, получаваме

В случай на малки деформации, когато, можем да пренебрегнем квадратните членове. Като се вземе предвид приблизителното съотношение