Как да решим проблема с точка в тетраедър?

Взехме определен тетраедър ABCD. Може да бъде с всякаква форма, вие сами го избирате.

И ми се струва, че за правилния отговор трябва да вземете точно определена форма на тетраедъра, но не знам коя.

Може би с малка основа и голяма височина, а може би, напротив, с малка височина.

Необходимо е да се намери точка O вътре в тетраедъра (не на повърхността, а точно вътре!) Така, че сумата от разстоянията AO + BO + CO да е ПОВЕЧЕ от сумата на AD + BD + CD.

С други думи, сумата от дължините на краищата на тетраедъра ABCO трябва да бъде по-голяма от тази на тетраедъра ABCD.

Този проблем наистина има решение, но за съжаление не мога да изведа обща формула, въпреки че в конкретен случай мога да обясня, това може да се случи. Например, вземете изпъкнал тетраедър, чийто ръб AD е по-голям от сумата на ръбовете BD и CD. Да предположим, че имаме ръб AD = 5 и ръбове BD = CD = 1, това ще помогне в разсъжденията. За простота можете да вземете AC = AB = 5. Изграждаме тетраедър ABCO вътре в него, с условието височината да спадне от точка O до някоя от страните AC или AB, да ги разбие на неравномерни сегменти от точка K, с AK = 1, KC = 4. Това е същото разсъждение за видимата страна, за невидимата. Тогава имаме, че AO ще бъде хипотенузата на триъгълник AOK и следователно по-голяма от 1, а OS е хипотенузата на триъгълник KOS и по-голяма от 4. В тетраедъра ABCD сумата от границите е 7, а в ABCO тетраедъра, е повече от 9.

Разбира се, това е частен случай, но принципът на конструкцията е ясен.