Научен форум на Dxdy

Как да разберем какво правят фракталите?

Имаме нужда от нещо друго, за да стигнем до тук някаква всеобхватна, не толкова дискусия, а да направим нещо друго едновременно. Това е някак важно за всички и не е просто необходимо. Тук нещо не е наред.

Бих искал да обсъдим нещо тук с причина, но нещо друго едновременно и по някакъв начин да намеря ново.

По някакъв начин е направено в природата на самите фрактали, че има нещо не само в математическото им описание, което е интересно за нас. И това е, което ни трябва тук, за да си представим не че действието на някои общи принципи, а да го направим засега: да разгледаме някои геометрични принципи и с тяхна помощ да се опитаме да не обобщаваме, а да разглеждаме различно областите, фракталите привличат към себе си.

1. Златно сечение

Нещо, свързано със златното сечение, може по някакъв начин да бъде представено в проблеми като фрактални карти.
Златното сечение е многостранна концепция, която се среща в много области на нашия живот. Може да се намери например в пропорциите на животински тела или структурата на растенията, а също така може да се види и в структурата на космоса. Разнообразие от науки от психология до по-точни технически науки, обекти на скулптура, живопис и други изкуства ни дават ясни примери за златното сечение.

Един от подходите за изучаване на същността на живата и неживата природа е да се идентифицират видовете симетрия, които се срещат в тях. Според много специалисти в живите организми, за разлика от повечето неживи организми, се използва така наречената „петоъгълна“ симетрия, която е пряко свързана със златното сечение.

Процесът, където и са комплексни числа, генерира цели светове на сложни самоподобни структури на сложната равнина.

Въпреки привидната простота на горната формула, изображението на началната точка не е лесно да се определи:

В компютърната графика се използва оцветяване в различни цветове на точка, в зависимост от диапазона от стойности, в които изображението на оригиналната точка попада за определен избран брой итерации.

На реалната ос имаме, тъй като по този начин златното сечение е фиксирана точка на това фрактално картографиране.

2. Вихър (логаритмична спирала)

Такива естествени форми като черупки от мекотели и други - всички те представляват златни спирали (златната спирала е специален случай на логаритмична спирала, вихър).

Основата на фракталната вселена също се формира от вихри, като космическите вихри на Декарт, запълващи цялата фрактална равнина.

За да демонстрирате това твърдение, помислете за две отображения на комплексната равнина:

1) - функция на мощността;

2) фрактално картографиране .

Лесно е да се види, че първият оператор генерира логаритмична спирала на комплексната равнина. Всъщност, за някаква начална точка с полярни координати (тук е полярният ъгъл), приложението на оператора (т.е. повишаването му до степен) дава

, Където .

Означавайки полярните координати на точка през, получаваме

, оттук .

След това или за непрекъснато увеличаване на параметъра: .
Тази функция определя логаритмична спирала - траекторията на точка от комплексната равнина с нарастващ параметър .

Фракталното картографиране (2) е определена сума от степенни функции на формата (1) с различни коефициенти, по някакъв начин суперпозиция на вихрови пространства.

Казва се, че даден обект е самоподобен, ако може да бъде възпроизведен чрез увеличаване на част от него. В природата самоповтарянето се случва в доста голям мащаб. Така че ръбът на облака може да повтори своята бучка структура от 10 км до 0,1 мм, т.е. самоподобност се наблюдава в мащаб. Облаците в междузвездното пространство, далеч от гравитационните полета на съседни звезди, са самоподобни в още по-голям мащаб - до .

Сложният фрактал може да съдържа много самоподобни фрагменти.

Елементната основа на фракталната вселена е логаритмичната спирала. Този елемент е самоподобен и в допълнение към това има редица интересни математически свойства. В теоретичната механика и механиката на непрекъснатите среди също срещаме тази забележителна крива.

По някакъв начин всичко по-горе (точки 1-3) не е толкова интересно за нас, тъй като това са известни неща. И ние искаме да направим нещо различно тук - да чуем нещо друго за нови области от тези, които могат да говорят за това.