Изследователска работа "Изопериметрични проблеми"

Общинска бюджетна образователна институция средно училище № 2 на град Кузнецк

Изследователска работа по математика

ученик от 8 клас Б Никонова Анна Ръководител: Осипова Оксана Владимировна - учител по математика

  1. Изопериметрични проблеми в древността ……………………………… 5

  1. Проучване на областите на плоски фигури ………………………………. десет

В извънкласния урок „Забавна математика“ учителят ми предложи да реша следния проблем:

„8 мача могат да бъдат използвани, за да се получат доста разнообразни затворени фигури. Някои от тях са показани на фигура 1; техните области със сигурност са различни. Задачата е да се направи фигура от 8 съвпадения, покриващи най-голямата площ ".

За да разреша този проблем, трябваше да разгледам фигури с един и същ периметър, тъй като всички те се състоят от 8 съвпадения и да проуча техните области. Оказа се, че връзката между периметъра и областта е един от най-древните проблеми на математиката - изопериметричният проблем.

Избрах го като тема на изследователската си работа.

Изопериметрични задачи (от изо. (Гръцки) - константа и периметър) - клас задачи в вариационното смятане за намиране на най-голямата или най-малката стойност за дадена стойност.

Изопериметричният проблем на равнина е да се намери фигурата, която има най-голямата площ сред всички фигури с един и същ периметър.

Изопериметричният проблем в пространството е да се намери сред телата, ограничени от повърхността на дадена стойност, тялото, което съдържа най-големия обем.

Смятам избраната тема за подходяща, тъй като изопериметричните задачи са важни не само в математиката, но и в нейните приложения, както и в икономиката и технологиите.

Цел на работата: доказателство, че кръгът има най-голямата площ сред геометричните фигури с равни периметри. Покажете приложението на изопериметричния проблем в ежедневието.

Обект на изследване: изопериметричен проблем.

Предмет на изследване: методи за решаване на изопериметричен проблем.

Хипотеза: сред геометричните фигури с равни периметри кръгът има най-голямата площ.

2. Изопериметрични проблеми в древността

Опити за строго доказване на изопериметрични проблеми са предприети в древността. Много известни мислители са намерили различни обяснения за максималността на кръг и топка.

Ето какво пише Николай Коперник в страхотната си книга „За въртенията на небесните сфери“: „Преди всичко трябва да отбележим, че светът е сферичен, било защото тази форма е най-съвършената от всички и не се нуждае от скоби и всичко представлява цялост, или защото тази форма, наред с всички останали, има най-голям капацитет, който е най-подходящ за този, който трябва да обхване и запази всичко. " Ако топката съдържа целия свят, тогава, разбира се, тя има максимален обем!

В книгата на Д. Поля „Математика и правдоподобни разсъждения“ е записано, че „древногръцките математици вече са знаели отговора в изопериметричния проблем: в плоския случай желаната фигура е окръжност (а в пространствения случай - топка). Тази идея се предлага преди всичко чрез директно сравнение на площите на някои фигури с еднакъв периметър.

Второ, някои физически съображения също показват, че отговорът в изопериметричния проблем е кръг или топка. Например, не случайно капчиците вода и сапунените мехурчета са оформени като топка: силите на повърхностното напрежение действат за намаляване на повърхността.

На трето място, древните гърци смятали кръга за най-съвършената фигура. Това е формата, която имат небесните тела и техните орбити. Това съображение повиши увереността им, че окръжността, в допълнение към другите си интересни свойства, трябва да бъде и решение на изопериметричния проблем.

Но геометрично древните гърци не са могли да докажат това.

Древногръцкият математик Зенодор, живял през II век пр.н.е. д. в Александрия, даде доста строго, дори от днешна гледна точка, обосновка на следния факт: ако за дадено n има n-угол с периметър 1 с максимална площ, то това е обикновен n-кутник.

Зенодор написал цял трактат за изопериметричните фигури. Въпреки че трактатът на Зенодор не е оцелял, някои от неговите резултати са стигнали до нас в изложението на математиците Pappus (III в. Сл. Н. Е.) И Theon (IV в. Н. Е.), Включително следните теореми:

  • от два триъгълника с обща страна и равни периметри, площта на този, към който принадлежи най-големият от четирите съседни ъгъла, е по-малка (от това веднага следва, че от всички триъгълници с еднакъв периметър, които имат общ основа, площта е максимална за равнобедрен триъгълник);
  • при еднакъв брой страни и равни периметри, площта на правилния многоъгълник е по-голяма от тази на неправилен;
  • от два правилни полигона с равни периметри, площта на този с повече страни е по-голяма

По този начин, колкото по-близо е многоъгълникът до кръга, толкова по-голям е изопериметричният му коефициент.