Избор на пропорция за салатата

В олимпиади

  • Да приемем, че Младият икономист реши да приготви всички порции салата в същата пропорция от $ k $ домати на 1 краставица. Каква стойност от $ k $ той ще избере, максимизирайки полезността си?
  • Може ли полезността на младия икономист да се увеличи над параграф един), ако той готви една част от салатата в пропорция от $ k_1 $, а другата част в част от $ k_2 $?

б) Първият начин

Общата цена за двата вида порции ще бъде $ (20 + 10k_1) \ cdot x_1 + (20 + 10k_2) \ cdot x_2 = 1000 $. Обща полезност: $$ U = x_1 \ sqrt + x_2 \ sqrt $$
Нека $ x_1 $ и $ k_1 $ бъдат избрани на някои произволни (не непременно оптимални) нива. Тогава $ U = const_1 + x_2 \ sqrt $ и разходите са равни на $ const_2 + (2 + k_2) \ cdot x_2 = 100 $. Оттук
$$ U = const_1 + \ frac \ sqrt $$
Максимизирайки тази функция (тя е подобна на функцията в точка а) до константи, получаваме $ k_2 ^ * = 2 $ независимо от $ k_1 $. По същия начин $ k_1 ^ * = k_2 ^ * = 2 $ - UE няма да може да получи повече полезност, тъй като няма да използва възможността да прави различни салати.

Втори начин
Нека докажем, че JE не може да получи полезност повече, отколкото в а), тоест повече от $ 25 \ sqrt $. Нека наречем "порции от първи тип" тези, при които делът на доматите: краставици е равен на $ k_1 $, а "порции от втория тип" тези, в които делът е равен на $ k_2 $. Нека UE подготви $ x_1 $ части от първия тип и $ x_2 $ части от втория тип. Нека обозначим разходите му за порции от първия тип за $ E_1 $, а разходите за порции от втория тип - за $ E_2 $.
Помощната програма UE е равна на $$ U = x_1 \ sqrt + x_2 \ sqrt = \ frac \ sqrt + \ frac \ sqrt $$
Имайте предвид обаче, че от точка а) веднага следва, че $ \ dfrac> = \ dfrac> $ и $ \ dfrac> = \ dfrac> $. Следователно
$$ U = ? \ frac> E_1 + \ frac> E_2 = \ frac> \ cdot (E_1 + E_2) = \ frac> \ cdot 1000 = 25 \ sqrt $$
Q.E.D.