Циклоидна Уикипедия

Циклоидът се определя кинематично като траектория с фиксирана точка генериращ кръг (радиус r) търкаляне без плъзгане по права линия.

Нека вземем хоризонталната координатна ос като права линия, по която се върти генериращата окръжност с радиус r. Циклоидът е описан:

параметрично x = r t - r sin ⁡ t y = r - r cos ⁡ t .
уравнение в декартови координати x = r arccos ⁡ r - y r - 2 r y - y 2> - >>>.
като решение на диференциалното уравнение (d y d x) 2 = 2 r - y y> \ вдясно) ^ = >>.

Циклоидът е периодична функция по оста на абсцисата, с период от 2 π r. Удобно е да се вземат единични точки (cusps) от вида t = 2 π k за границите на периода, където k е произволно цяло число.
За да нарисувате допирателна към циклоидата в произволна точка A достатъчно е да свържете тази точка с горната точка на генериращия кръг. Чрез свързване A с долната точка на генериращия кръг, получаваме нормала.
Дължината на циклоидната дъга е 8 r. Този имот е открит от Кристофър Рен (1658). Зависимостта на дължината на дъгата на циклоида (ите) от параметъра t е както следва [1]: s (t) = 4 r (1 - cos ⁡ t 2))>.
Площта под всяка арка на циклоидата е три пъти по-голяма от площта на генериращия кръг. Торичели съобщава, че Галилей открива този факт експериментално: той сравнява теглото на плочите с кръг и с арка на циклоида. [2] Математически този факт е доказан за първи път от Робервал около 1634 г., използвайки метода на неделими.

Радиусът на кривината при първата дъга на циклоидата е 4 r sin ⁡ t 2 >>.
Обърнатата циклоида е най-стръмната крива на спускане (брахистохрон). Нещо повече, той също има свойството тавтохронност: тежко тяло, поставено във всяка точка на циклоидната арка, достига хоризонтала по едно и също време.
Периодът на трептене на материална точка, плъзгаща се по обърната циклоида, не зависи от амплитудата. (Пряка последица от тавтохронността).
Еволюцията на циклоида е циклоида, конгруентна на първоначалната и паралелно изместена от първоначалната, така че върховете преминават в "точките".
- Последните две свойства, открити от Хюйгенс, са използвани от него за създаване на прецизни механични часовници.
Първите учени, обърнали внимание на циклоида Николай Кузански през 15 век и Шарл де Бовел в работата от 1501г. Но сериозните изследвания на тази крива започват едва през 17 век.

Име циклоидна Галилей е изобретил (във Франция тази крива беше наречена за първи път навивам). Съществено изследване на циклоидата е извършено от съвременник на Галилео Мерсен. Сред трансценденталните криви, тоест криви, чието уравнение не може да бъде записано като полином в x, y, циклоидата е първата от изследваните.

Рулетката е линия, толкова често срещана, че няма по-честа линия след права линия и кръг; той е толкова често нарисуван пред очите на всички, че човек трябва да бъде изненадан как древните не са го считали ... защото това не е нищо повече от път, описан във въздуха от колело.

Новата крива бързо набира популярност и претърпява задълбочен анализ, в който участват Декарт, Ферма, Нютон, Лайбниц, братя Бернули и други светила на науката от 17-18 век. Методите за математически анализ, които се появиха през тези години, бяха активно усъвършенствани върху циклоидата.

Фактът, че аналитичното изследване на циклоидата е било толкова успешно, колкото и анализът на алгебричните криви, направи голямо впечатление и се превърна във важен аргумент в полза на „уравнението в правата“ на алгебричните и трансценденталните криви.