Аксиоматична теория на множествата

АКСИОМАТИЧНАТА ТЕОРИЯ е посока в математическата логика, занимаваща се с изучаването на обекти от теорията на множествата по аксиоматичния метод.

Аксиоматичната теория на множествата означава също всяка специфична система, която формализира теорията на множествата. Аксиоматичната теория на множествата възниква в началото на 20 век в Европа във връзка с парадоксите на теорията на множествата, които показват, че наивната теория на множествата води до противоречия. Елиминирането на парадоксите се оказа възможно само по пътя на аксиоматичното ограничение на принципа, че всяко свойство определя съвкупността от всички обекти, притежаващи това свойство. Различните ограничения водят до различни версии на аксиоматичната теория на множествата.

Първата и най-известна от аксиоматичните теории на множествата е теорията на Zermelo - Fraenkel, която дефинира изграждането на множества стъпка по стъпка, т.е. при всяка крайна или трансфинитна стъпка се разглеждат само тези множества, всички елементи от които вече са били конструирани в предишните стъпки. Концепцията за трансфинитна стъпка също намира строга дефиниция в тази теория. Тази теория е формулирана в Е-езика, тоест в език с единичен начален неопределен символ Є на принадлежност: xЄX се разбира като „x е елемент от множеството X“. Множество Y се нарича подмножество на множество X, ако всеки елемент от множеството Υ също принадлежи към множеството X (обозначено с YЄX).

Ключовите аксиоми в теорията на Zermelo-Fraenkel (ZF теория) са.

1) Аксиома на екстенсионалност (размерност), която гласи, че всякакви две групи, съдържащи едни и същи елементи, са равни помежду си.

2) Аксиома на селекцията, която твърди, че множеството от всички елементи на даден набор, които удовлетворяват определено свойство, е множество.

3) Аксиомата на безкрайността, която твърди съществуването на безкрайно множество от определен тип, а именно непразно множество X такова, че xЄX => ЄX, където е множество, чийто единствен елемент е x.

4) Аксиомата на степента, която гласи, че колекцията P (X) от всички подмножества на дадено множество е множеството.

5) Аксиома на заместването, която гласи, че ако за всеки елемент x от даден набор X някак е даден набор f (x), тогава колекцията от всички така дефинирани множества f (x) е набор.

6) Аксиомата на редовността, която гласи, че всяко непразно множество X съдържа Є-минимален елемент x, тоест x не съдържа елементи от множеството X.

Към тази система може да се присъедини аксиомата по избор AC, която гласи, че за всяко множество X, състоящо се от непразни двойки множества x, които нямат общи елементи, има множество Υ, имащо точно един общ елемент с всеки xЄX. Разширената по този начин система е обозначена като ZFC.

Аксиоми 1-4 и избраната аксиома са въведени от Е. Цермело през 1908 г .; заедно с някои технически аксиоми, те образуват Zermelo аксиоматичната теория на множествата Z или ZC (съответно при липса или присъствие на избраната аксиома). Аксиома 5 е въведена от А. Френкел и норвежкия математик Т. Сколем през 1922 г., аксиома 6 - от Й. фон Нойман през 1923 г.

Теориите Z и ZF се съчетават с теория на типа, съответстваща на първите ω + ω стъпки от описаната по-горе схема на трансфинитна конструкция на множества, където ω е първото трансфинитно число (равно на порядъчния тип на множеството от всички естествени числа ), и теорията на класовете на фон Нойман - Бернайс - Гьодел NBG, в които заедно със множествата е позволено да се разглеждат класове, тоест колекции от множества, които сами по себе си не са множества (например класът на всички множества); формално класовете се различават от множествата по това, че не са елементи от други класове (и множества). Аксиоматичната теория на множествата на Куайн NF е изградена върху съвсем различна идея, при която се изисква всички променливи на формулата, изразяваща разглежданото свойство, да могат да бъдат индексирани, така че индексът y да е точно с един повече от индекса x, когато изразът x xy се среща в тази формула.

Развитието на аксиоматичната теория на множествата показа, че обектите на смислената математика могат да се разглеждат като множества, съответно всяко твърдение на смислена математика може да се формулира като твърдение за множества и, накрая, всяко математически правилно доказателство може да бъде формализирано като доказателство в теорията на ZFC (в повечето случаи достатъчна теория ZC). В този смисъл аксиоматичната теория на множествата ZFC е аксиоматичната основа на съвременната математика.

Аксиоматичната теория на множествата даде възможност да се докаже формална неразрешимост, тоест невъзможността да се получи отговор „да“ или „не“ на поставения въпрос за проблеми като проблема за континуума, проблема за измеримостта и редица други проблеми в описателната теория на множествата.

Лит.: Gödel K. Съвместимост на избраната аксиома и обобщената хипотеза на континуума с аксиомите на теорията на множествата // Uspekhi matematicheskikh nauk. 1948. Т. 3. Бр. един; Новиков П. С. За последователността на някои разпоредби на описателната теория на множествата // Математически институт Trudy на Академията на науките на СССР. 1951. Т. 38; Куайн У. О. ван. Теория на множествата и нейната логика. Camb., 1963; Frenkel A.A., BarHillel I. Основи на теорията на множествата. М., 1966; Коен П. Дж. Теория на множествата и хипотеза на континуума. М., 1969; Справочник по математическа логика. Москва, 1982 г. Част 2: Теория на множествата.