Абсолютни и относителни грешки 1 1

Начало> Документ

2) Квадратурата е точна за нечетна функция по отношение на средата на интервала

Всъщност по силата на равенствата дн+един-j = дj, е(хн+един-j) = - е(хj), е(

) = 0 ние имаме

3) Изгодно е да имате нечетен брой интерполационни възли н = 2m + 1. В този случай средата на интервала х0 е възел за интерполация. Интерполационен полином Lн+един(х) с множество централни възли х0 се различава от Lн(х) до нечетна функция

Ln + 1(х) - Lн(х) = е(хедин, ..., хн, х0) н(х) = е(хедин, ..., хн, х0).

Следователно, когато се изчислява грешката при интегриране, може да се използва грешката при апроксимирането на функцията от полинома Lн+един(х)

R(е) =

4) Ако н(т) запазва на [-един, един] постоянен знак, грешката на интегриране позволява точна оценка. Приложи към R(е) теорема за средната стойност

R(е) = = д е ( н ) ( ) (б - а) н +един ,

(6.30) д =

един) Формула на правоъгълници. Нека бъде н = 1, дедин = 0, един(т) = един. Тогава дедин =

= 1.

Ази т.н.(f, a, b) =

Формулата на правоъгълника представлява интеграла на площта на трапеца, образувана от оста х, прав х = а, х = б, и допирателна към кривата у = е(х) в средата на сегмента [а, б]. Защото н странно и 2(т) = т 2  0, се прилага формула (6.30)

д =

Интегралът получава израза

2) Формула за трапец. Нека бъде н = 2, дедин = -1, д2 = 1, един(т) =

(един - т), 2(т) =

(един + т). Тогава

дедин = д2 =

Формулата на трапец представлява интеграла на площта на трапец с основи е(а), е(б) и височина б - а

Азтр(е, а, б) = .

д =

Интегралът получава израза

един(т) =

т(t - 1), 2(т) = (1 - t 2 ), 3(т) =

т(t + 1).

дедин = D3 = D3 =

АзСим(е, а, б) = .

Формулата на Симпсън представлява интеграла чрез комбинация от трапецовидни и правоъгълни формули

АзСим(f, a, b) =

Азтр(е) +

Ази т.н.(е).

д =

Интегралът получава израза

Изразите на интеграла от гледна точка на формулите за правоъгълници, трапеции и Симпсън съдържат много общо и са представени от равенството

Където Аз(е, а, б) - квадратурна формула, ° С - постоянна, к - поръчка. Кога ° С =

, к = 2 получаваме формулата на правоъгълници; ° С =

, к = 2 - трапец; ° С =

, к = 4 - Симпсън.

Съставни формули на Нютон - Котес. Разделяме сегмента [а, б] На н равни части по точки

a = x0 ( к ) ( ) =

Числовата грешка при интегриране ще се изрази като

= Аз (е, з) + ° С (б - а) з к е (к) ( ).

От израза за интеграционната грешка следва, че при f(х)  0 На [а, б] формулата за правоъгълници дава стойността на интеграла с дефицит, а формулата за трапеци с излишък и за f(х)  0 напротив, формулата на правоъгълниците - с излишък, формулата на трапеца - с дефицит. Формулата на Симпсън представлява интеграла с излишък при е (4) (х)  0, в е (4) (х)  0 - с недостатък.

Правилото на Runge за оценка на интеграционната грешка. Поправка на Runge. За непрекъсната производна е ( к ) (х) израз е ( к ) ( ) е интегрална сума и като н до безкрайност има средна стойност е ( к ) (х) На [а, б]

е ( к ) () = .

Нека сегментът [а, б] е разделен на четен брой части. След това със същия дял на сегмента [а, б] може да се изчисли

Корекцията на Рунге дава възможност да се прецени големината на интеграционната грешка. Добавяйки го, получаваме рафинираната стойност на интеграла

Пример 6.10. Изчислете интеграла

в н = 2 по формулите на правоъгълници, трапеции и Симпсън. Вземете под внимание изменението на Runge.